Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\)\(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + 2\).
b. Giải bất phương trình \(f'(x – 1) > 0\).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x_0\), biết rằng \(f”(x_0) = -6\).
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + 2\).
Phương pháp giải:
* Tập xác định: Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số:
– Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y’
+ Tại các điểm đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
– Tìm cực trị
– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
– Nêu lưu ý đến tính chẵn, tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Giải:
Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = -3x^2 + 6x + 9\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ -3x^2 + 6x + 9 = 0\)
\(⇔ -3(x + 1)(x – 3) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x + 1 = 0 \\ x – 3 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -1 \\ x = 3 \\ \end{gathered} \right.\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-1; 3)\), nghịch biến trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((3; +∞)\).
– Cực trị:
+ Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3; y_{CĐ} = 29\)
+ Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1; y_{CT} = -3\)
– Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}f(x) = +∞\)
\(\lim_{x → +∞}f(x) = -∞\)
– Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục Oy tại điểm \((0; 2)\)
Đồ thị hàm số nhận \(I(1; 13)\) làm tâm đối xứng.
Câu b: Giải bất phương trình \(f'(x – 1) > 0\).
Phương pháp giải: Tính đạo hàm \(y = f'(x)\). Thay \(x – 1\) vào vị trí của x để tính \(f'(x – 1)\) và giải bất phương trình \(f'(x – 1) > 0\).
Giải:
\(y = f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + 2\)
\(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9\)
\(⇒ f'(x – 1) = -3(x – 1)^2 + 6(x – 1) + 9\)
\(= -3(x^2 – 2x + 1) + 6x – 6 + 9\)
\(= -3x^2 + 6x – 3 + 6x + 3\)
\(= -3x^2 + 12x\)
\(⇒ f'(x – 1) > 0 ⇔ -3x^2 + 12x > 0 ⇔ 0 < x < 4\)
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x_0\), biết rằng \(f”(x_0) = -6\).
Phương pháp giải: Giải phương trình \(f”(x_0) = -6\) để tìm \(x_0\). Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) theo công thức: \(y = y'(x_0)(x – x_0) + y(x_0)\).
Giải:
Có \(f”(x) = -6x + 6\)
\(f”(x_0) = -6 ⇔ -6x_0 + 6 = -6 ⇔ x_0 = 2\)
Do đó: \(f'(2) = 9, f(2) = 24\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(x_0 = 2\) là:
\(y = f'(2)(x – 2) + f(2)\)
\(⇔ y = 9(x – 2) + 24 ⇔ y = 9x + 6\)
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + 2\).
Xét hàm số \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + 2\)
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: \(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9\)
\(f'(x) = 0 ⇔ -3x^2 + 6x + 9 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -1 \\ x = 3\\ \end{gathered} \right.\)
Xét dấu \(f'(x)\):
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 3)\), nghịch biến trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((3; +∞)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và giá trị cực đại \(y_{CD} = y(3) = 29\), đạt cực tiểu tại \(x = – 1\) và giá trị cực tiểu \(y_{CT} = y(-1) = -3\).
Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}(-x^3 + 3x^2 + 9x + 2) = +∞\)
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}(-x^3 + 3x^2 + 9x + 2) = -∞\)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Ta có: \(y” = -6x + 6, y” = 0 ⇔ x = 1\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \((1; 13)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm (0; 2).
Với \(x = -2 ⇒ y = 4\)
\(x = 4 ⇒ y = 22\)
\(x = -3 ⇒ y = 29\)
Câu b: Giải bất phương trình \(f'(x – 1) > 0\).
Ta có: \(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9\)
\(⇒ f'(x – 1) = -3(x – 1)^2 + 6(x – 1) + 9\)
\(= -3(x^2-2x+1)+6x-6+9\)
\(= -3x^2 + 6x – 3 + 6x – 6 + 9\)
\(= -3x^2 + 12x\)
Do đó: \(f'(x – 1) > 0 ⇔ -3x^2 + 12x > 0 ⇔ 0 < x < 4\).
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x_0\), biết rằng \(f”(x_0) = -6\).
Ta có: \(f”(x_0) = -6x_0 + 6\)
\(⇒ f”(x_0) = -6 ⇔ -6x_0 + 6 = -6 ⇔ x_0 = 2\)
\(⇒ f(x_0) = 24\) và \(f'(x_0) = f'(2) = 9\)
Vậy tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(x_0\) theo yêu cầu bài toán là:
\(y = 9(x – 2) + 24 ⇔ y = 9x + 6\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 47 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời