Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Ôn Tập Chương III
Bài Tập 15 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Hãy xho biết dãy số \(\)\((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là:
A. \((-1)^{n + 1}.sin\frac{π}{n}\)
B. \((-1)^{2n}(5^n + 1)\)
C. \(\frac{1}{\sqrt{n + 1} + n}\)
D. \(\frac{n}{n^2 + 1}\)
Lời Giải Bài Tập 15 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Xét từng phương án ta có:
– Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử \((-1)^{n + 1}\) nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng.
– Phương án C:
\(u_3 = \frac{1}{\sqrt{3 + 1} + 1} = \frac{1}{3}\)
\(u_8 = \frac{1}{\sqrt{8 + 1} + 1} = \frac{1}{4}\)
\(⇒ u_8 < u_3 ⇒ u_n\) không là dãy số tăng ⇒ loại đáp án C.
– Phương án D: \(u_1 = \frac{1}{2}; u_2 = \frac{2}{5}\)
\(⇒ u_2 < u_1 ⇒ u_n\) không là dãy số tăng ⇒ loại phương án D.
Chọn đáp án B.
Thật vậy:
\(u_n = (-1)^{2n}.(5^n + 1) = 5^n + 1\)
(vì 2n chẵn nên \((-1)^{2n} = 1\))
Ta có:
\(u_{n + 1} – u_n = (5^{n + 1} + 1) – (5^n + 1) = 5^{n + 1} – 5^n.\)
\(= 5^n.(5 – 1) = 4.5^n > 0, ∀n ∈ N^∗.\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.
Cách tổng quát:
Đáp án A:
\((u_n):u_n = (-1)^{n + 1}.sin\frac{π}{n}\) có:
\(u_1; u_3; u_5; …\) dương
\(u_2; u_4; u_6; …\) âm
⇒ dãy số không tăng không giảm.
Đáp án B:
\((u_n):(-1)^{2n}.(5^n + 1) = 5^n + 1\)
\(u_{n + 1} = 5^{n + 1} + 1 > 5^n + 1 = u_n\) với mọi \(n ∈ N\).
\(⇒ (u_n)\) là dãy số tăng:
Đáp án C:
\(- (u_n):u_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + n}\)
\(u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + n + 1} < \frac{1}{\sqrt{n + 1} + n} = u_n\)
\(⇒ (u_n)\) là dãy số giảm.
Đáp án D:
\(- (u_n):u_n = \frac{n}{n^2 + 1}\)
\(u_{n + 1} – u_n = \frac{n + 1}{(n + 1)^2 + 1} – \frac{n}{n^2 + 1}\)
\(= \frac{(n + 1)(n^2 + 1) – n.(n^2 + 2n + 1)}{(n^2 + 2n + 1)(n^2 + 1)}\)
\(= \frac{-n^2 – n + 1}{(n^2 + 2n + 1)(n^2 + 1)} < 0; ∀n ≥ 1.\)
\(⇒ (u_n)\) là dãy số giảm.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 15 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 9 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 10 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 11 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 12 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 13 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 14 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 16 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 17 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 18 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 19 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời