Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Ôn Tập Chương III
Bài Tập 7 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \(\)\((u_n)\), biết:
a. \(u_n = n + \frac{1}{n}\)
b. \(u_n = (-1)^{n – 1}sin\frac{1}{n}\)
c. \(u_n = \sqrt{n + 1} – \sqrt{n}\)
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(u_n = n + \frac{1}{n}\)
Phương pháp giải:
– Xét hiệu \(u_{n +1} – u_n\).
- Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.
- Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.
- Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.
– Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \(u_n ≤ M; ∀n ∈ N^∗\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \(u_n ≥ m; ∀n ∈ N^∗\).
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M, m\) sao cho \(m ≤ u_n ≤ M; ∀n ∈ N^∗\).
Giải:
Xét hiệu: \(u_{n + 1} – u_n\)
\(= (n + 1 + \frac{1}{n + 1}) – (n + \frac{1}{n})\)
\(= n + 1 + \frac{1}{n + 1} – n – \frac{1}{n}\)
\(= 1 + \frac{1}{n + 1} – \frac{1}{n}\)
\(= \frac{n^2 + n + n – n – 1}{n(n + 1)} = \frac{n^2 + n – 1}{n(n + 1)} > 0; ∀n ∈ N^∗.\)
Do \(n^2 + n – 1 ≥ 1^2 + 1 – 1 = 1 > 0\) và \(n(n + 1) > 0\) với \(∀n ∈ N^∗.\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.
Mặt khác: \(u_n = n + \frac{1}{n} ≥ 2\sqrt{n.\frac{1}{n}} = 2, ∀n ∈ N^* ⇒ u_n\) là dãy số bị chặn dưới.
Khi n càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
Câu b: \(u_n = (-1)^{n – 1}sin\frac{1}{n}\)
Ta có:
\(u_1 = (-1)^{1 – 1}sin1 = sin1 > 0\)
\(u_2 = (-1)^{2 – 1}sin\frac{1}{2} = -sin\frac{1}{2} < 0\)
\(u_3 = (-1)^{3 – 1}sin\frac{1}{3} = sin\frac{1}{3} < 0\)
\(⇒ u_1 > u_2\) và \(u_2 < u_3\)
Vậy \(u_n\) là dãy số không tăng không giảm.
Ta lại có: \(|u_n| = |(-1)^{n – 1}sin\frac{1}{2}| = |sin\frac{1}{n}| ≤ 1 ⇔ -1 ≤ u_n ≤ 1\)
Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn.
Cách khác
Với \(n ≥ 1 thì 0 < \frac{1}{n} < 1 < \frac{π}{2} ⇒ sin\frac{1}{n} > 0, ∀n\)
Suy ra: Với n chẵn \(⇒ n – 1\) lẻ
\(⇒ (-1)^{n – 1} = -1 ⇒ u_n < 0.\)
Với n lẻ \(⇒ n – 1\) chẵn
\(⇒ (-1)^{n – 1} = 1 ⇒ u_n > 0\)
\(⇒ u_1 > u_2 < u_3 > u_4 < u_5 > u_6…\)
\(⇒ (u_n)\) không tăng không giảm.
\(⇒ (-1)^{n – 1} = -1 ⇒ u_n < 0.\)
Câu c: \(u_n = \sqrt{n + 1} – \sqrt{n}\)
Ta có: \(u_n = \sqrt{n + 1} – \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n + 1} – \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{n + 1 – n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\)
Xét hiệu:
\(u_{n + 1} – u_n\)
\(= \frac{1}{\sqrt{(n + 1) + 1} + \sqrt{n + 1}} – \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} – \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\)
Ta có:
\(\begin{cases}\sqrt{n +2} > \sqrt{n + 1}\\\sqrt{n + 1} > 0\end{cases}\)
\(⇒ \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} > \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} > 0\)
\(⇒ \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} < \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\)
\(⇒ u_{n + 1} – u_n < 0\)
\(⇒ u_n\) là dãy số giảm.
Mặt khác: \(u_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} > 0, ∀n ∈ N^∗ ⇒ u_n\) là dãy số bị chặn dưới.
Ta lại có: với \(n ≥ 1\) thì \(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} ≥ \sqrt{2} + 1\)
\(⇒ u_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} ≤ \frac{1}{\sqrt{2} + 1}\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
Câu a: \(u_n = n + \frac{1}{n}\)
Ta có \(u_{n + 1} – u_n = (n + 1 + \frac{1}{n + 1}) – (n + \frac{1}{n}) = 1 + \frac{1}{n + 1} – \frac{1}{n}\)
\(= \frac{n^2 + n + n – n – 1}{n(n +1)} = \frac{n^2 + n – 1}{n(n + 1)} > 0; ∀n ∈ N^∗\)
\(⇒ (u_n)\) là dãy tăng.
Ta có \(u_n = n + \frac{1}{n} > 0 ⇒ (u_n)\) bị chặn dưới, nhưng \((u_n)\) không bị chặn trên ⇒ \((u_n)\) không bị chặn.
Câu b: \(u_n = (-1)^{n – 1}sin\frac{1}{n}\)
Dãy \((u_n)\) không tăng và không giảm.
Ta có \(|u_n| = |sin\frac{1}{n}| ≤ 1 ⇔ -1 ≤ u_n ≤ 1, u ∈ N^∗\)
\(⇒ (u_n)\) bị chặn.
Câu c: \(u_n = \sqrt{n + 1} – \sqrt{n}\)
Ta có \(u_{n + 1} – u_n = (\sqrt{n + 2} – \sqrt{n + 1}) – (\sqrt{n + 1} – \sqrt{n})\)
\(= \sqrt{n + 2} + \sqrt{n} – 2\sqrt{n + 1} \ (1)\)
Ta chứng minh \(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n} – 2\sqrt{n + 1} < 0 \ (2)\)
Thật vậy ta có \((2) ⇒ \sqrt{n + 2} + \sqrt{n} < 2\sqrt{n + 1}\)
\(⇔ 2\sqrt{n(n + 2)} < 2n + 2\)
\(⇔ \sqrt{n(n + 2)}\)
\(⇔ n^2 + 2n\)
⇒ (2) đúng.
Từ (1), (2) ⇒ \(u_{n + 1} – u_n < 0\)
\(⇒ (u_n)\) dãy số giảm.
Ta có \(u_n = \sqrt{n + 1} – \sqrt{n} = \frac{n + 1 – n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} + \sqrt{n}\)
Từ đó ⇒ 0.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 9 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 10 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 11 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 12 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 13 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 14 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 15 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 16 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 17 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 18 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 19 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời