Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Ôn Tập Chương III
Bài Tập 5 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng với mọi \(\)\(n ∈ N*\), ta có:
a. \(13^n – 1\) chia hết cho 6
b. \(3n^3 + 15n\) chia hết cho 9.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(13^n – 1\) chia hết cho 6.
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
Giải:
Với \(n = 1\), ta có: \(13^1 – 1 = 13 – 1 = 12 ⋮ 6\)
Giả sử: \(13^k – 1 ⋮ 6\) với mọi \(k ≥ 1\)
Ta chứng minh: \(13^{k + 1} – 1\) chia hết cho 6.
Thật vậy:
\(13^{k + 1} – 1 = 13^{k + 1} – 13^k + 13^k – 1\)
\(= (13^{k + 1} – 13^k) + (13^k – 1)\)
\(= 13^k(13 – 1) + (13^k – 1)\)
\(= 12.13^k + 13^k – 1\)
Vì: \(12.13^k ⋮ 6\) và \(13^k – 1 ⋮ 6\) (theo giả thiết quy nạp)
Nên: \(13^{k + 1} – 1 ⋮ 6\)
Vậy \(13^n – 1\) chia hết cho 6 với mọi \(n ∈ N*\).
Câu b: \(3n^3 + 15n\) chia hết cho 9.
Với n = 1, ta có: \(3.1^3 + 15.1 = 18 ⋮ 9\)
Giả sử: \(3k^3 + 15k ⋮ 9 ∀k ≥ 1.\)
Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3 + 15(k + 1) ⋮ 9\)
Thật vậy:
\(3(k + 1)^3 + 15(k + 1)\)
\(= 3.(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 15(k + 1)\)
\(= 3k^3 + 9k^2 + 9k + 15k + 18\)
\(= (3k^3 + 15k) + 9(k^2 + k + 2)\)
Vì \(3k^3 + 15k ⋮ 9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2 + k + 2) ⋮ 9\)
Nên: \(3(k + 1)^3 + 15(k + 1) ⋮ 9\)
Vậy: \(3n^3 + 15n\) chia hết cho 9 với mọi \(n ∈ N*\).
Câu a: \(13^n – 1\) chia hết cho 6
Với n = 1, ta có:
\(13^n – 1 = 13^1 – 1 = 12 ⋮ 6\)
Giả sử ta có: \(13^k -1 ⋮ 6\) với mọi k ≥ 1
Ta chứng minh: \(13^k + 1 – 1\) chia hết cho 6
Thật vậy:
\(13^k + 1 – 1 = 13^k + 1 – 13^k + 13^k – 1 = 12.13^k + 13^k – 1\)
Vì: \(12.13^k ⋮ 6\) và \(13^k – 1 ⋮ 6\)
Nên: \(13^k + 1 – 1 ⋮ 6\)
Vậy \(13^n – 1\) chia hết cho 6
Câu b: \(3n^3 + 15n\) chia hết cho 9.
Với n = 1, ta có: \(3n^3 + 15n = 18 ⋮ 9\)
Giả sử ta có: \(3(k + 1)^3 + 15(k + 1)\) Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3 + 15(k + 1) ⋮ 9\)
Thật vậy:
\(3(k + 1)^3 + 15(k + 1) = 3.(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 15(k + 1)\)
\(= 3k^3 + 9k^2 + 9k + 15k + 18\)
\(= 3k^3 + 15k + 9(k^2 + k + 2)\)
Vì vậy \(3(k + 1)^3 + 15(k + 1)\) (giả thiết quy nạp) và \(9(k^2 + k + 2) ⋮ 9\)
Nên: \(3(k + 1)^3 + 15(k + 1) ⋮ 9\)
Vậy: \(3n^3 + 15n\) chia hết cho 9 với mọi \(n ∈ N^*\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 9 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 10 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 11 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 12 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 13 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 14 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 15 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 16 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 17 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 18 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 19 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời