Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Ôn Tập Chương III
Bài Tập 6 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho dãy số \(\)\((u_n)\), biết \(u_1 = 2, u_{n + 1} = 2u_n – 1\) (với \(n ≥ 1\)).
a. Viết năm số dạng hàng đầu của dãy.
b. Chứng minh \(u_n = 2^{n – 1} + 1\) bằng phương pháp quy nạp.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: Viết năm số dạng hàng đầu của dãy.
Phương pháp giải: Viết các số hạng còn lại theo quy luật bài cho.
Giải:
\(u_1 = 2\)
\(u_2 = 2u_1 – 1 = 3\)
\(u_3 = 2u_2 – 1 = 5\)
\(u_4 = 2u_3 – 1 = 9\)
\(u_5 = 2u_4 – 1 = 17\)
Câu b: Chứng minh \(u_n = 2^{n – 1} + 1\) bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Giải:
Với \(n = 1\), ta có: \(u_1 = 2^{1 – 1} + 1 = 2\) công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi \(n = k ≥ 1\). Nghĩa là: \(u_k = 2^{k – 1} + 1\)
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta phải chứng minh:
\(u_{k + 1} = 2^{(k + 1) – 1} + 1 = 2^k + 1\)
Ta có: \(u_{k + 1} = 2u_k – 1 = 2(2^{k – 1} + 1) – 1 = 2.2^{k – 1} + 2 – 1 = 2^k + 1\) (đpcm)
Vậy \(u_n = 2^{n – 1}\) với mọi \(n ∈ N^*\).
Câu a: Viết năm số dạng hàng đầu của dãy.
Ta có: \(u_1 = 2, u_2 = 2u_1 – 1 = 3, u_3 = 2u_2 – 1= 5\)
\(u_4 = 2u_3 – 1 = 9, u_5 = 2u_4 – 1 = 10\)
Câu b: Chứng minh \(u_n = 2^{n – 1} + 1\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1 – 1} + 1 = 2\) ta có công thức đúng
Giả sử công thức đúng với \(n = k\). Nghĩa là: \({u_k} = 2^{k – 1} + 1\)
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta cần phải chứng minh:
\({u^{k + 1}} = {2^{\left( {k + 1} \right) – 1}} + 1 = {2^k} + 1\)
Ta có: \(u_{k + 1} = 2u_{k – 1} = 2(2^{k – 1} + 1) – 1 = 2.2^{k – 1} + 2 – 1 = 2^k + 1\) (đpcm)
Vậy \(u_n = 2^{n – 1}\) với mọi \(n ∈ N^*\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 9 Trang 107 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 10 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 11 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 12 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 13 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 14 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 15 Trang 108 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 16 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 17 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 18 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 19 Trang 109 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời