Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Ôn Tập Chương V
Bài Tập 9 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho hai hàm số \(\)\(y = \frac{1}{x\sqrt{2}}\) và \(y = \frac{x^2}{\sqrt{2}}\)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm có hoành độ \(x_0\) là: \(y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)\).
– Nhận xét về các hệ số góc của hai tiếp tuyến trên.
\(C_1: y = f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} ⇒ f'(x) = -\frac{1}{x^2\sqrt{2}}\)
\(C_2: y = g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{2}} ⇒ g'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1}} = x\sqrt{2}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(C_1\) và \(C_2\) là:
\(\frac{1}{x\sqrt{2}} = \frac{x^2}{\sqrt{2}} ⇔ \begin{cases}x ≠ 0\\x^3 = 1\end{cases} ⇔ x = 1 ⇒ y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy giao điểm của \(C_1\) và \(C_2\) là \(A(1, \frac{\sqrt{2}}{2})\)
– Phương trình tiếp tuyến của \(C_1\) tại điểm A là:
\(y – \frac{\sqrt{2}}{2} = f'(1)(x – 1)\)
\(⇔ y – \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(x – 1)\)
\(⇔ y = -\frac{x}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\)
Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_1 = \frac{-1}{\sqrt{2}}\)
– Phương trình tiếp tuyến của \(C_2\) tại điểm A là:
\(y – \frac{\sqrt{2}}{2} = g'(1)(x – 1) ⇔ y – \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}(x – 1)\)
\(⇔ y = x\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_2 = \sqrt{2}\)
– Ta có: \(k_1.k_2 = (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\sqrt{2}) = -1\)
⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau
⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng \(90^0\).
Sau đó ta áp dụng các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0; y_0) ∈ (C):\)
Bước 1: Tính \(f'(x_0)\).
Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k = f'(x_0)\)
Bước 3: Suy ra phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0; y_0) ∈ (C)\) là: \(y = f'(x_0).(x – x_0) + y_0\)
Toạ độ giao điểm của hai hàm số \(y = \frac{1}{x\sqrt{2}}\) và \(y = \frac{x^2}{\sqrt{2}}\) là nghiệm của hệ:
\(\begin{cases}y = \frac{1}{x\sqrt{2}}\\y = \frac{x^2}{\sqrt{2}}\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = 1\\y = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}\)
Ta có với \(y = \frac{1}{x\sqrt{2}} ⇒ y’ = -\frac{1}{\sqrt{2}x^2}\)
\(⇒ y'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
⇒ ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y = \frac{1}{x\sqrt{2}}\) tại điểm \((1; \frac{1}{\sqrt{2}})\) là \(y – \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(x – 1)\)
\(⇔ y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\sqrt{2}.\)
Với \(y = \frac{x^2}{\sqrt{2}} ⇒ y’ = \sqrt{2}x\)
\(⇒ y'(1) = \sqrt{2}\)
⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2}{\sqrt{2}}\) tại điểm \((1; \frac{1}{\sqrt{2}})\) là: \(y – \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(x – 1)\)
\(⇔ y = \sqrt{2}x – \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Do \((-\frac{1}{\sqrt{2}}).(\sqrt{2}) = -1\)
⇒ góc giữa hai tiếp tuyến \(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x + \sqrt{2}\) và \(y = \sqrt{2}x – \frac{1}{\sqrt{2}}\) là \(90^0\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Ôn Tập Chương V Thuộc Chương V: Đạo Hàm Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 176 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 176 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 176 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 176 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 176 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 176 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 176 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 10 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 11 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 12 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 13 Trang 177 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời