Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Bài 2: Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ
Nội dung Bài 2: Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Hiểu như thế nào là vectơ đối, cách xác đinh hiệu của hai vectơ. Vận dụng các quy tắc và các tính chất trong bài để chứng minh một đẳng thức vectơ. Vận dụng được: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành khi lấy tổng hai vectơ cho trước. Vận dụng quy tắc trừ để chứng minh các đẳng thức vectơ. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
1. Tổng của hai vectơ
Trên hình 1.5, hai người đi học hai bên bờ kênh và cùng kéo một con thuyền với hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\). Hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) tạo nên hợp lực \(\vec{F}\) là tổng của hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\), làm thuyền chuyển động.
Định nghĩa
Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Lấy một điểm A tùy ý, vẽ \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) và \(\overrightarrow{BC} = \vec{b}\). Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Ta kí hiệu tổng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là \(\vec{a} + \vec{b}\). Vậy \(\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) (hình 1.6).
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).
Trên hình 1.5, hợp lực của hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) là lực \(\vec{F}\) được xác định bằng quy tắc hình bình hành.
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) tùy ý ta có
\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\) (tính chất giao hoán)
\((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\) (tính chất kết hợp)
\(\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}\) (tính chất của vectơ – không)
Hình 1.8 minh họa cho các tính chất trên.
Câu hỏi 1 bài 2 trang 9 SGK hình học lớp 10: Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1.8.
Giải:
– Tính chất giao hoán
\(\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
\(\vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\)
Do đó \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)
– Tính chất kết hợp
\((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}\)
\(= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}) + \overrightarrow{CD}\)
\(= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)
\(\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)
\(= \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})\)
\(= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}\)
Do đó \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)
– Tính chất của vectơ – không
\(\overrightarrow{AB} + \vec{0} = \vec{0} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}\)
4. Hiệu của hai vectơ
a. Vectơ đối
Câu hỏi 2 bài 2 trang 10 SGK hình học lớp 10: Vẽ hình bình hành \(ABCD\). Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\).
Giải:
Về độ dài: hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) có cùng độ dài.
Về hướng: hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) có hướng ngược nhau.
Cho vectơ \(\vec{a}\). Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với \(\vec{a}\) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\vec{a}\), kí hiệu là \(-\vec{a}\).
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{BA}\), nghĩa là \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\).
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ \(\vec{0}\) là vectơ \(\vec{0}\).
Ví dụ 1. Nếu \(D, E, F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\) của tam giác \(ABC\) (hình 1.9), khi đó ta có
\(\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{EF}\)
\(\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{EC}\)
Câu hỏi 3 bài 2 trang 10 SGK hình học lớp 10: Cho \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}\). Hãy chứng tỏ \(\overrightarrow{BC}\) là vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\).
Giải:
Ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}\)
\(⇒ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \vec{0} + \overrightarrow{CB}\)
\(⇔ \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB}) = \overrightarrow{CB}\)
\(⇔ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{CB}\)
\(⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}\)
\(⇒ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BC}\)
Vậy \(\overrightarrow{BC}\) là vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\)
b. Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Ta gọi hiệu của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là vectơ \(\vec{a} + (-\vec{b})\), kí hiệu \(\vec{a} – \vec{b}\).
Như vậy \(\vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra
Với ba điểm O, A, B tùy ý ta có \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}\) (hình 1.10).
Câu hỏi 4 bài 2 trang 11 SGK hình học lớp 10: Hãy giải thích vì sao hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OA}\) là vectơ \(\overrightarrow{AB}\).
Giải:
Sử dụng
– Quy tắc 3 điểm bằng \(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}\)
– Tính chất \(-\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}\)
\(\overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}\)
\(= \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AO}\)
\(= \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}\)
\(= \overrightarrow{AB}\) (quy tắc ba điểm)
Chú ý:
1. Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép từ vectơ.
2. Với ba điểm tùy ý \(A, B, C\) ta luôn có:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (quy tắc ba điểm)
\(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\) (quy tắc trừ)
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.
Ví dụ 2: Với bốn điểm bất kì \(A, B, C, D\) ta luôn có \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\). Thật vậy, lấy một điểm O tùy ý ta có
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.\)
5. Áp dụng
a. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).
b. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\).
Chứng minh
b. Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Khi đó \(BGCD\) là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Suy ra \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}\) và \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}\). Ta có \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}\).
Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\). Vẽ hình bình hành \(BGCD\) có I là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}\), suy ra \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}\) nên G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Do đó ba điểm \(A, G, I\) thẳng hàng, \(GA = 2GI\), điểm G nằm giữa A và I. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu Hỏi Và Bài Tập
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 2: Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho \(\)\(AM > MB\). Vẽ các vectơ \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB}\).
Bài Tập 2 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\).
Bài Tập 3 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Chứng minh rằng đối với tứ giác \(ABCD\) bất kì ta luôn có
a. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\)
b. \(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} – \overrightarrow{CD}\)
Bài Tập 4 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \vec{0}\).
Bài Tập 5 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác đề \(ABC\) cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{BC}\).
Bài Tập 6 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm O. Chứng minh rằng
a. \(\overrightarrow{CO} – \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\)
b. \(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}\)
c. \(\overrightarrow{DA} – \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{OC}\)
d. \(\overrightarrow{DA} – \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}\)
Bài Tập 7 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho \(\vec{a}, \vec{b}\) là hai vectơ khác \(\vec{0}\). Khi nào có đẳng thức
a. \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\)
b. \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} – \vec{b}|\)
Bài Tập 8 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho \(|\vec{a} + \vec{b}| = 0\). So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).
Bài Tập 9 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.
Bài Tập 10 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 10
Cho ba lực \(\vec{F_1} = \overrightarrow{MA}, \vec{F_2} = \overrightarrow{MB}\) và \(\vec{F_3} = \overrightarrow{MC}\) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\vec{F_1}, \vec{F_2}\) đều là 100N và \(\widehat{AMB} = 60^0\). Tìm cường độ và hướng của lực \(\vec{F_3}\).
Ở trên là nội dung Bài 2: Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Qua bài Tổng và hiệu hai vectơ giúp các bạn nắm được cách xác định tổng, hiệu hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, các tính chất của tổng véctơ, tính chất của véctơ – không. Chúc các bạn học tốt Hình Học Lớp 10.
Trả lời