Chương I: Phép Nhân Và Phép Chia Các Đa Thức – Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Bài 9: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Cách Phối Hợp Nhiều Phương Pháp
Nội dung bài học bài 9 phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp chương 1 toán đại số lớp 8 tập 1. Giúp các bạn biết phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số ) bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. Biết làm các bài toán không quá khó các bài toán với hệ số nguyên.
Tóm Tắt Lý Thuyết
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp khác nhau, nhưng chúng ta thường sử dụng một số phương pháp thông dụng như sau:
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp:
– Trước hết, ta tìm nhân tử có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức. Đó là nhân tử chung.
– Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
– Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp: Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp: Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích.
4. Phối hợp các phương pháp
Phương pháp:
Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên chú ý chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên như sau:
Bước 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay không?
* Có nhân tử chung: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bước 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng.
* Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bước 2.
Bước 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phương pháp hằng đẳng thức. Nếu không thì chuyển qua bước 3.
Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
5. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
Phương pháp: Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó. Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp.
Khai thác bài toán:
Bằng phương pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậc thấp), ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
\(H = x^2 – 21x + 38\)
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
\(I = x^4 + 5x^2 – 14\)
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức
\(K = x^2 + 4x – 21\)
6. Phương pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ)
Phương pháp: Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài toán được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích.
7. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Phương pháp: Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích. Thông thường hay đưa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt.
Khai thác bài toán:
Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
\(M = x^4 + 4y^4\)
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
\(N = x^4 + x^2 + 1\)
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức
\(P = (1 + x^2)^2 – 4x(1 + x^2)\)
8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
Phương pháp: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.
9. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
Phương pháp:
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x).
P(x) = (x – a)Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho (x – a). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).
Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x= b thì ta có thể phân tích đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x).
P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số \((x – a)(x – b) = x^2 + (a + b)x + ab\), ta có thương đúng của phép chia là Q(x). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).
Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = a\) thì sao?
Thế nào là nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).
Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x)
Do đó, ta có: \(P(x) = (x – a)^2R(x)\)
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = a\)
Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = a\) thì \(P(x) = (x – a)^2R(x)\)
Bản thân tôi đã nghiên cứu và đưa ra được một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Có phương pháp, có ví dụ minh họa, có bài tập khai thác làm chủ đề trở lên đơn giản rễ hiểu.
Dù số lượng học sinh chưa nhiều, song qua giảng dạy bồi dưỡng trực tiếp tôi thấy được học sinh đã nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Đặc biệt tỉ lệ học sinh làm được các dạng bài vận dụng khá cao.
Có thể nói, việc hệ thống kiến thức mỗi chủ đề một cách khoa học có tác dụng tốt không chỉ với giáo viên mà còn tác động trự tiếp đến khả năng tiếp thu và hứng thú của học sinh.
Các Bài Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 9 Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Cách Phối Hợp Nhiều Phương Pháp
Hướng dẫn giải bài tập sgk bài 9 phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp chương 1 toán đại số lớp 8 tập 1. Giúp các bạn có kĩ năng phân tích đề bài để tìm ra phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sao cho hợp lí.
Bài Tập 51 Trang 24 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. \(\)\(x^3 – 2x^2 + x\)
b. \(2x^2 + 4x + 2 – 2y^2\)
c. \(2xy – x^2 – y^2 + 16\)
Bài Tập 52 Trang 24 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Chứng minh rằng \(\)\((5n + 2)^2 – 4\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Bài Tập 53 Trang 24 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. \(\)\(x^2 – 3x + 2\)
(Gợi ý: Ta không áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử \(-3x = -x – 2x\) thì ta có \(x^2 – 3x + 2 = x^2 – x – 2x + 2\) và từ đó dễ dàng phân tích tiếp. Cũng có thể tách \(2 = -4 + 6\), khi đó ta có \(x^2 – 3x + 2 = x^2 – 4 – 3x + 6\), từ đó dễ dàng phân tích tiếp)
b. \(x^2 + x – 6\)
c. \(x^2 + 5x + 6\)
Bài Tập 54 Trang 25 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. \(\)\(x^3 + 2x^2y + xy^2 – 9x\)
b. \(2x – 2y – x^2 + 2xy – y^2\)
c. \(x^4 – 2x^2\)
Bài Tập 55 Trang 25 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Tìm x, biết:
a. \(\)\(x^3 – \frac{1}{4}x = 0\)
b. \((2x – 1)^2 – (x + 3)^2 = 0\)
c. \(x^2(x – 3) + 12 – 4x = 0\)
Bài Tập 56 Trang 25 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Tính nhanh giá trị của đa thức:
a. \(\)\(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}\) tại x = 49,75
b. \(x^2 – y^2 – 2y – 1\) tại x = 93 và y = 6
Bài Tập 57 Trang 25 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. \(\)\(x^2 – 4x + 3\)
b. \(x^2 + 5x + 4\)
c. \(x^2 – x – 6\)
d. \(x^4 + 4\)
(Gợi ý câu d): Thêm và bớt \(4x^2\) vào đa thức đã cho).
Bài Tập 58 Trang 25 SGK Đại Số Lớp 8 – Tập 1
Chứng minh rằng \(\)\(n^3 – n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Trên là lý thuyết và giải bài tập sgk bài 9 phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp chương 1 toán đại số lớp 8 tập 1. Giúp các bạn rèn luyện tư duy lô gíc, khả năng phân tích và tổng hợp để giải bài tập.
Bài Tập Liên Quan:
- Ôn Tập Chương I: Phép Nhân Và Phép Chia Các Đa Thức
- Bài 12: Chia Đa Thức Một Biến Đã Sắp Xếp
- Bài 11: Chia Đa Thức Cho Đơn Thức
- Bài 10: Chia Đơn Thức Cho Đơn Thức
- Bài 8: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Phương Pháp Nhóm Các Hạng Tử
- Bài 7: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Phương Pháp Dùng Hằng Đẳng Thức
- Bài 6: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Phương Pháp Đặt Nhân Tử Chung
- Bài 5: Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (Tiếp)
- Bài 4: Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (Tiếp)
- Bài 3: Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ
- Bài 2: Nhân Đa Thức Với Đa Thức
- Bài 1: Nhân Đơn Thức Với Đa Thức
Trả lời