Chương IV: Số Phức – Giải Tích Lớp 12
Ôn Tập Chương IV
Số Phức là một trong những khái niệm mới, một dạng toán mới dễ trong chương trình học phổ thông. Vì thế trong các kỳ thi, các câu hỏi số phức luôn là câu hỏi “ăn điểm”. Bài tập ôn tập chương IV số phức này sẽ giúp các bạn học sinh nắm bắt hệ thống kiến thức đã học trong các bài, bên cạnh lời giải là những phương pháp giải giúp các em nắm bắt kiến thức tốt hơn.
Tóm Tắt Lý Thuyết Ôn Tập Chương IV: Số Phức
1. Định ngĩa
Một số phức z là biểu thức dạng \(\)\(z = a + bi; a ∈ R, b ∈ R; i^2 = -1\)
- a: gọi là phần thực, b: gọi là phần ảo; i: đơn vị ảo. Tập hợp số phức kí hiệu là C.
- phần ảo b = 0; số phức z = a + 0i = a được coi là số thực. Vậy R ⊂ C
- phần thực a = 0; số phức z = 0 + bi = bi là số thuần ảo (số ảo)
2. cho 2 số phức \(z_1 = a + bi\) và \(z_2 = c + di\).
Ta có: \(z_1 = z_2 ⇔ \begin{cases}a = c\\b = d\end{cases}\)
3. Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi 1 điểm M(a; b) trên mpOxy và ngược lại.
4. Môđun của số phức z
Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
5. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là số phức \(\overline{z} = \overline{a + bi} = a – bi\)
6. Phép toán
Cho 2 số phức \(z_1 = a + bi\) và \(z_2 = c + di\)
a. Cộng, trừ
\(z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i\)
\(z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = a + bi – c – di = (a – c) + (b – d)i\)
(Được thực hiện như phép công, trừ đa thức, xem đơn vị ảo i là biến)
b. Phép nhân
\(z_1.z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac – bd + (ad + bc)i\)
(Được thực hiện như phép nhân đa thức, thay \(i^2 = -1\) trong kết quả)
c. Phép chia
\(\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{(a + bi)(c – di)}{c^2 + d^2} (c + di ≠ 0)\)
(Nhân cả tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1.\overline{z_2}}{z_2.\overline{z_2}}) = \frac{z_1.\overline{z_2}}{|\overline{z_2}|^2}\)
7. Phương trình bậc hai với hệ số thực
a. Căn bậc hai của số thực \(a < 0 là ±i\sqrt{|a|}\)
b. Phương trình bậc hai với hệ số thực: \(az^2 + bz + c = 0\), tính \(Δ = b^2\)
- Δ = 0: phương trình có 1 nghiệm thực \(z = -\frac{b}{2a}\)
- Δ > 0: phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt \(z = \frac{-b ± \sqrt{Δ}}{2a}\)
- \(Δ = b^2 – 4ac < 0\): phương trình có 2 nghiệm phức \(z = \frac{-b ± i\sqrt{|Δ|}}{2a}\)
c. Định lý vi ét: \(z_1, z_2\) là 2 nghiệm của phương trình: \(az^2 + bz + c = 0, a ≠ 0\). Thì \(z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}\) và \(z_1.z_2 = \frac{c}{a}\)
d. Trên C, mọi phương trình bậc n(n ≥ 1): \(a_0x^n + a_1x^{n – 1} + … + a_{n – a}x + a_n = 0\) đều có n nghiệm phức.
Bài Tập Ôn Tập Chương IV: Số Phức
Hướng dẫn giải bài tập SGK ôn tập chương IV số phức giải tích lớp 12. Bài giúp các bạn hoàn thành các câu hỏi bài tập kèm theo phương pháp giải dễ hiểu.
Bài Tập 1 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Thế nào là phần thực, phần ảo, modun của số phức? Viết công thức tính môdun của một số phức theo phần thực và phần ảo của nó.
Bài Tập 2 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môdun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực.
Bài Tập 3 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Nêu định nghĩa số phức liên hợp của số phức z. Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?
Bài Tập 4 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 71 a), b), c) sau:
Bài Tập 5 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện:
a. Phần thực của z bằng 1
b. Phần ảo của z bằng −2
c. Phần thực của z thuộc đoạn [−1, 2], phần ảo của z thuộc đoạn [0, 1].
d. |z| ≤ 2
Bài Tập 6 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các số thực x, y sao cho:
a. 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i
b. 2x + y – 1 = (x + 2y – 5)i
Bài Tập 7 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo của z không vượt quá môdun của nó.
Bài Tập 8 Trang 143 SGK Giải Tích Lớp 12
Thực hiện các phép tính sau:
a. \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]\)
b. \((4 – 3i) + \frac{1 + i}{2 + i}\)
c. \((1 + i)^2 – (1 – i)^2\)
d. \(\frac{3 + i}{2 + i} – \frac{4 – 3i}{2 – i}\)
Bài Tập 9 Trang 144 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. \((3 + 4i)z + (1 – 3i) = 2 + 5i\)
b. \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz\)
Bài Tập 10 Trang 144 SGK Giải Tích Lớp 12
a. \(3z^2 + 7z + 8 = 0\)
b. \(z^4 – 8 = 0\)
c. \(z^4 – 1 = 0\)
Bài Tập 11 Trang 144 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Bài Tập 12 Trang 144 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hai số phức \(z_1, z_2\), biết rằng \(z_1 + z_2\) và \(z_1.z_2\) là hai số thực. Chứng tỏ rằng \(z_1, z_2\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Trên là toàn bộ lời giải SGK ôn tập chương IV: Số Phức – Giải Tích Lớp 12. Ôn tập chương là những bài tập cơ bản đến nâng cao, giúp cũng có kiến thức lý thuyết và áp dụng giải các bài tập.
Trả lời