Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 9 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(\)\(ABC\) và \(A’B’C’\) thì \(3\overrightarrow{GG’} = \overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’}\).
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
Xen cả hai điểm \(G, G’\) vào các vectơ \(\overrightarrow{AA’}, \overrightarrow{BB’}, \overrightarrow{CC’}\) để tính tổng.
Nhóm các vectơ thich hợp, sử dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)
G là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên:
\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)
\(⇔ -\overrightarrow{GA} – \overrightarrow{GB} – \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)
\(⇔ \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = \vec{0}\)
G’ là trọng tâm tam giác \(A’B’C’\) nên:
\(\overrightarrow{G’A’} + \overrightarrow{G’B’} + \overrightarrow{G’C’} = \vec{0}\)
Khi đó:
\(\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’A’} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’B’} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’C’}\)
\(= (\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG}) + (\overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{GG’}) + (\overrightarrow{G’A’} + \overrightarrow{G’B’} + \overrightarrow{G’C’})\)
\(= \vec{0} + 3\overrightarrow{GG’} + \vec{0}\)
\(= 3\overrightarrow{GG’}\)
\(⇒ \overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’} = 3\overrightarrow{GG’}\)
Cách khác:
Ta có:
\(\overrightarrow{GG’} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{A’G’}\)
\(\overrightarrow{GG’} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{B’G’}\)
\(\overrightarrow{GG’} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{CC’} + \overrightarrow{C’G’}\)
\(⇒ 3\overrightarrow{GG’} = (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) + (\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’}) + (\overrightarrow{A’G’} + \overrightarrow{B’G’} + \overrightarrow{C’G’}) (1)\)
G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} (2)\)
G’ là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên:
\(\overrightarrow{G’A’} + \overrightarrow{G’B’} + \overrightarrow{G’C’} = \vec{0}\)
\(⇔ \overrightarrow{A’G’} + \overrightarrow{B’G’} + \overrightarrow{C’G’} = \vec{0} (3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(3\overrightarrow{GG’} = \overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’}\)
Ta có: G là trong tâm của tam giác ABC nên: \(\)\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)
G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên: \(\overrightarrow{G’A’} + \overrightarrow{G’B’} + \overrightarrow{G’C’} = \vec{0}\)
\(\overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{GA’} – \overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’A’} – \overrightarrow{GA’}\)
\(\overrightarrow{BB’} = \overrightarrow{GB’} – \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’B’} – \overrightarrow{GB}\)
\(\overrightarrow{CC’} = \overrightarrow{GC’} – \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’C’} – \overrightarrow{GC}\)
Suy ra: \(\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’}\)
\(= \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’A’} – \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’B’} – \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’C’} – \overrightarrow{GC}\)
\(= 3\overrightarrow{GG’} + \overrightarrow{G’A’} + \overrightarrow{G’B’} + \overrightarrow{G’C’} – (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{GG’}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Vectơ Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 1 Trang 28 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 2 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 10 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 11 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 12 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 13 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 14 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 15 Trang 30 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 16 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 17 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 18 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 19 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 20 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 21 Trang 31 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 22 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 23 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 24 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 25 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 26 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 27 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 28 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 29 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 30 Trang 32 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời