Giải Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(f(x) = ax^{2} – 2(a+1)x + a + 2 (a ≠0)\)
a. Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
b. Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích 12
Với câu a chúng ta chỉ cần chứng minh biệt thức \(\triangle\geq0\) từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm thực nhé.
Với câu b, ta nên áp dụng định lý Vi-et đã học để xây dựng công thức tính S và P, từ đó ta tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Lưu ý trong bài 1, các hàm số theo S và P sẽ là các hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Giải:
Câu a:
Xét phương trình:
\(\)\(ax^{2} – 2(a+1)x + a + 2 (a ≠ 0)\)
Ta có: \(Δ’ = [-(a+1)]^{2} – a(a+2)\)
\(Δ’ = (a^{2} + 2a + 1) – (a^{2} – 2a) = 1 > 0, ∀a\)
Vậy phương trình luôn có nghiệm thực
\(x_1 = \frac{a + 1 + 1}{a} = \frac{a + 2}{a}; x_2 = \frac{a + 1 – 1}{a} = 1\)
Câu b:
Theo định lí Viet ta có:
\(\begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{2(a + 1)}}{a}\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{{a + 2}}{a} \end{array}\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của \(S = 2 + \frac{2}{a}\)
Tập xác định: D = R \ {0}
\(S’ = -\frac{2}{a^{2}} < 0, ∀a ≠ 0\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- ∞; 0) và (0; + ∞)
Tiệm cận đứng a = 0; tiệm cận ngang S = 2.
Đồ thị hàm số giao với Oa tại điểm (-1; 0).
Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 2) làm tâm đối xứng.
Tính tiến đồ thị hàm số \(S = 2 + \frac{2}{a}\) song song với trục tung xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số \(P = 1 + \frac{2}{a}\) là phần đồ thị nét đứt trong hình vẽ.
Cách giải khác
Câu a: Với mọi a ≠ 0 phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc hai có biểu thức
\(Δ = (a + 1)^2 – a(a + 2) = 1 > 0\)
nên phương trình luôn có 2 nghiệm \(x_1 = 1\) và \(x_2 = \frac{a + 2}{a}\)
Câu b: Tổng và tích các nghiệm của phương trình f(x) = 0
lần lượt là: \(S = x_1 + x_2 = 1 + \frac{a + 2}{a} = \frac{2(a + 1)}{a}\)
\(P = x_1.x_2 = \frac{a + 2}{a}\)
Khảo sát hàm số S(a), ta có:
Tập xác định D = R\{0}
\(\lim_{x \rightarrow 0}S(a) = ∞\)
⇒ Tiệm cận đứng là a = 0
\(\lim_{x \rightarrow ±∞}S(a) = 2\)
⇒ Tiệm cận ngang là S = 2
\(S'(a) = -\frac{2}{a^2} < 0 ∀a ≠ 0\)
Bảng biến thiên
Đồ thị ( hình thang trên ).
Khảo sát hàm số \(P(a) = \frac{a + 2}{a}\), ta có:
Tập xác định D = R\{0}
\(\lim_{x \rightarrow 0^+}P = +∞; \lim_{x \rightarrow 0^-}P = -∞ ⇒ a = 0\) là tiệm cận đứng
\(\lim_{x \rightarrow ±∞}P = 1 ⇒ y = 1\) là tiệm cận ngang
\(P'(a) = -\frac{2}{a^2} < 0 ∀a ≠ 0\)
Bảng biến thiên
Đồ thị ( hình trên).
Cách giải khác
Câu a: Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
Phương pháp giải: Nhẩm nghiệm, đưa phương trình f(x) = 0 về dạng phương trình tích để tìm nghiệm của phương trình.
Giải:
Ta có: \(f(x) = 0 ⇔ ax^2 – 2(a + 1)x + a + 2 = 0\)
Phương trình trên có A = a, B = -2(a + 1), C = a + 2 và A + B + C = a – 2(a + 1) + a + 2 = a – 2a – 2 + a + 2 = 0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 1, x_2 = \frac{C}{A} = \frac{a + 2}{a}\)
Câu b: Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.
Phương pháp giải:
– Dựa vào hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình f(x) = 0.
– Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã được học.
Giải:
* Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:
\(S = \frac{2a + 2}{a}, P = \frac{a + 2}{a}\)
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(S = \frac{2a + 2}{a} = 2 + \frac{2}{a}\)
– Tập xác định: (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
– Sự biến thiên: \(S’ = -\frac{2}{a^2} < 0, ∀a ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)\) nên hám số nghịch biến trên hai khoảng (-∞; 0) và (0; +∞)
– Cực trị: Hàm số không có cực trị.
– Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang.
\(\lim_{a → +∞}S = \lim_{a → +∞} (2 + \frac{2}{a}) = 2\)
\(\lim_{a → -∞}S = \lim_{a → -∞}(2 + \frac{2}{a}) = 2\)
Vậy S = 2 tiệm cận ngang
– Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\(lim_{a → 0^+}S = \lim_{a → 0^+}(2 + \frac{2}{a}) = +∞\)
\(\lim_{a → 0^-}S = \lim_{a → 0^-}(2 + \frac{2}{a}) = -∞\)
Vậy a = 0 là tiệm cận đứng.
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị hàm số:
Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại a = -1
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(P = \frac{a + 2}{a} = 1 + \frac{2}{a}\)
Tập xác định: D = R \ {0}
\(P’ = \frac{-2}{a^2} < 0, ∀a ∈ D\)
\(\lim_{a → 0^-}S = -∞\) ⇒ Tiệm cận đứng: a = 0
\(\lim_{a → ±∞}S = 1 ⇒\) Tiệm cận ngang: P = a
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị hàm số:
Ngoại ra: độ thị hàm số \(P = \frac{a + 2}{a} = 1 + \frac{2}{a}\) có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị \(S = \frac{2a + 2}{a} = 2 + \frac{2}{a}\) dọc theo trục tung xuống phía dưới 1 đơn vị.
Trên là phương pháp giải kèm theo lời giải bài tập 1 trang 145 sgk giải tích lớp 12 trong phần ôn tập cuối năm. Xem các lời giải bài tập khác ngay bên dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời