Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. \((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)
b. \((7 – 3i)z + (2 + 3i) = (5 – 4i)z\)
c. \(z^2 – 2z + 13 = 0\)
d. \(\)\(z^4 – z^2- 6 = 0\)
Lời Giải Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích 12
Câu c giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.
Câu d ta đặt ẩn phụ, đưa phương trình về phương trình bậc hai để giải nhé.
Câu a: \((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)
\(⇔ z = \frac{(2 – 5i) + (4 + 7i)}{3 + 2i} ⇔ z = \frac{6 + 2i}{3 + 2i} ⇔ z = \frac{22}{13} – \frac{6}{13}i\)
Câu b: \((7 – 3i)z + (2 + 3i) = (5 – 4i)z
⇔ (5 – 4i – 7 + 3i)z = 2 + 3i\)
\(⇔ z = -\frac{2 + 3i}{2 + i} ⇔ z = -\frac{7}{5} – \frac{4}{5}i\)
Câu c: \(z^2 – 2z + 13 = 0\)
Phương trình đã cho có \(Δ’ = 1 – 13 = 12i^2\) nên \(z = 1 ± 2\sqrt{3}i\)
Câu d: \(z^4 – z^2- 6 = 0\)
Đặt \(t = z^2\), ta có phương trình bậc hai \(t^2 – t – 6 = 0\) có hai nghiệm t = -2, t = 3.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là \(z_{1,2}= ±\sqrt{3}, z_{3,4}= ±\sqrt{2}i\)
Cách giải khác
Câu a: (3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i
⇔ (3 + 2i)z = (6+ 2i)
\(⇔ z = \frac{6 + 2i}{3 + 2i} = \frac{(6 + 2i)(3 – 2i)}{3^2 + 2^2} = \frac{22}{13} – \frac{6}{13}i\)
Câu b: (7 – 3i)z + (2 + 3i) = (5 – 4i)z
⇔ (7 – 3i)z – (5 – 4i)z = -(2 + 3i)
\(⇔ z = \frac{-2 – 3i}{2 + i} = -\frac{(2 + 3i)(2 – i)}{2^2 + 1^2} = -\frac{7}{4} – \frac{4}{5}i\)
Câu c: \(z^2 – 2z + 13 = 0\)
\(z_1 = 1 + 2\sqrt{3}i, z_2 = 1 – 2\sqrt{3}i\)
Câu d: \(z^4 – z^2- 6 = 0\)
\(z^2 = -2\) hoặc \(z^2 = 3\)
\(⇒ Z_{1, 2} = ±\sqrt{3}, z_{3, 4} = ±\sqrt{2}i\)
Cách giải khác
Câu a: \((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)
Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng \(az + b = 0 ⇔ z = -\frac{b}{a} (a ≠ 0)\)
Giải: \((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)
\(⇔ (3 + 2i)z = 2 – 5i + 4 + 7i\)
\(⇔ (3 + 2i)z = 6 + 2i\)
\(⇔ z = \frac{6 + 2i}{3 + 2i}\)
\(⇔ z = \frac{(6 + 2i)(3 – 2i)}{3^2 + 2^2}\)
\(⇔ z = \frac{18 + 6i – 12i – 4i^2}{13}\)
\(⇔ z = \frac{22 – 6i}{13} = \frac{22}{13} – \frac{6}{13}i\)
Câu b: \((7 – 3i)z + (2 +3i) = (5 – 4i)z\)
Giải: \((7 – 3i)z + (2 + 3i) = (5 – 4i)z\)
\(⇔ (7 – 3i – 5 + 4i)z = -2 – 3i\)
\(⇔ (2 + i)z = -2 – 3i\)
\(⇔ z = \frac{-2 – 3i}{2 + i}\)
\(⇔ z = \frac{(-2 – 3i)(2 – i)}{2^2 + 1^2}\)
\(⇔ z = \frac{-4 – 6i + 2i + 3i^2}{5}\)
\(⇔ z = \frac{-7 – 4i}{5} = -\frac{7}{5} – \frac{4}{5}i\)
Câu c: \(z^2 – 2z + 13 = 0\)
Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức.
Giải: \(z^2 – 2z + 13 = 0 ⇔ z^2 – 2z + 1 = -12\)
\(⇔ (z – 1)^2 = -12 ⇔ z – 1 = ±2\sqrt{3}i ⇔ z = 1 ± 2\sqrt{3}i\)
Câu d: \(z^4 – z^2 – 6 = 0\)
Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
Giải: \(z^4 – z^2 – 6 = 0\)
\(⇔ (z^2 – 3)(z^2 + 2) = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}z^2 – 3 = 0\\z^2 + 2 = 0 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}z^2 = 3\\z^2 = -2\end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}z = ±\sqrt{3}\\z = ±i\sqrt{2}\end{matrix}\)
Trên là bài giải nhanh của bài tập 15 trang 148 sgk giải tích lớp 12 phần ôn tập cuối năm. Bài được tổng hợp, nếu có sai xin vui lòng bình luận ngay bên dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời