Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập. Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(y = \frac{2}{2 – x}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số \(\)\(y = x^{2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
c. Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích 12
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Phương pháp giải: Vận dụng các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Giải: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
Tập xác định: D = R\{2}.
Giới hạn:
\(\lim_{x → +∞}y= \lim_{x → +∞}\frac{2}{2-x} = 0; \lim_{x → – ∞}y= \lim_{x → -∞}\frac{2}{2 – x} = 0\)
\(\lim_{x → 2^- }y= \lim_{x → 2^- }\frac{2}{2-x} = -∞; \lim_{x → 2^+ }y= \lim_{x → 2^+ }\frac{2}{2-x} = +∞\)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang.
Sự biến thiên: \(y’ = \frac{2}{(2 – x)^2} > 0, ∀x ≠ 2.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
Hàm số không có cực trị:
Đồ thị có dạng:
Đồ thị hàm số nhận điểm (2; 0) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1).
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;2).
Câu b: Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số \(y = x^{2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
Phương pháp giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm tọa độ giao điểm.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm \(M(x_0, y_0)\) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng: \(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\)
Giải: Phương trình xác định hoành độ giao điểm:
\({2 \over {2 – x}} = {x^2} + 1 ⇔ {x^3} – 2{x^2} + x = 0 ⇔ x ∈ \{ {0, 1} \}\)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm \(M_{1} (0, 1), M_{2} (1, 2)\)
Tiếp tuyến với đồ thị (C): \(y = {2 \over {2 – x}}\) tại điểm \(M_{1}\) có phương trình là: \(y = {1 \over 2}x + 1\)
Tiếp tuyến tại điểm \(M_{2}\) có phương trình y = 2(x – 1) + 2 = 2x
Câu c: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Phương pháp giải: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay. (Đọc hơi khó tý)
Trong khoảng (0, 1) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :
\(V = π\int_0^1(\frac{2}{(2 – x)})^2 = 2π\)
Cách giải khác
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
Tập xác định: D = R\{2}.
Giới hạn:
\(\lim_{x → +∞ }y= \lim_{x → +∞ }\frac{2}{2-x}=0; \lim_{x → – ∞ }y= \lim_{x → -∞ }\frac{2}{2 – x} = 0\)
\(\lim_{x → 2^- }y= \lim_{x → 2^- }\frac{2}{2-x}=-∞; \lim_{x → 2^+ }y= \lim_{x → 2^+ }\frac{2}{2 – x} = +∞\)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang.
Sự biến thiên: \(y’ = y’ = \frac{2}{(2 – x)^2} > 0, ∀x ≠ 2.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞ ;2)\) và \((2;+∞ )\)
Hàm số không có cực trị:
Đồ thị có dạng:
Đồ thị hàm số nhận điểm (2; 0) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1).
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2).
Câu b: Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số \(y = x^{2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
Hoành độ giao điểm của (C) với đồ thị hàm số \(y = x^2 + 1\) là nghiệm của phương trình:
\(\frac{2}{2 – x} = x^2 + 1 ⇔ 2 = (x^2 + 1)(2 – x)\) với x ≠ 2
\(⇔ x(-x^2 + 2x – 1) = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0\\ x = 1 \end{matrix}\)
Ta có \(f'(x) = \frac{2}{(2 – x)^2}\)
Với x = 0 ⇒ y = 1 và \(f'(0) = \frac{1}{2}\)
⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng \(y= \frac{1}{2}x + 1\).
Với x = 1 ⇒ y = 2 và f'(1) = 2
⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2(x – 1) + 2 hay y = 2x.
Câu c: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
\(V= π\int_{0}^{1}\left ( \frac{2}{2-x} \right )^2dx = 4 π\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x)^2} = 4 π\frac{1}{2-x} \Bigg |^1_0\)
\(= 4 π( 1-\frac{1}{2} ) = 2 π\) (đvdt).
Cách giải khác
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Phương pháp giải: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Giải:
– Tập xác định: D = (-∞, 2) ∪ (2, +∞)
– Sự biến thiên: \(y’ = \frac{2}{(2 – x)^2} > 0, ∀x ∈ D\)
Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
– Hàm số không có cực trị
– Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞} \frac{2}{2 – x} = 0; \lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}\frac{2}{2 – x} = 0\)
⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
– Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\(\lim_{x → 2^+}y = \lim_{x → 2^+}(\frac{2}{2 – x}) = -∞; \lim_{x → 2^-} = \lim_{x → 2^-}(\frac{2}{2 – x}) = +∞\)
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 1, không cắt trục hoành.
Câu b: Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số \(y = x^{2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
Phương pháp giải: Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đồ thị hàm số \(y = x^2 + 1\) tìm các giao điểm.
Sau đó lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) dựa vào công thức: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x) tại điểm \(x = x_0\) có công thức: \(y = y'(x_0)(x – x_0) + y_0\).
Giải: Phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(\frac{2}{2 – x} = x^2 + 1 ⇔ x^3 – 2x^2 + x = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}\)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm \(M_1(0, 1); M_2(1; 2)\)
Tiếp tuyến với đồ thị \((C): y = \frac{2}{2 – x}\) tại điểm \(M_1\) có phương trình là:
\(y = y'(0)(x – 0) + 1 = \frac{1}{2}x + 1\)
Tiếp tuyến tại điểm \(M_2\) có phương trình y = y'(1)(x – 1) + 2 = 2(x – 1) + 2 = 2x.
Câu c: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Phương pháp giải: Khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox có thể tích được tính bởi công thức:
\(V = π\int_{a}^{b}|f^2(x) – g^2(x)|dx\)
Giải: Trong khoảng (0; 1) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là:
\(V = π\int_{0}^{1}(\frac{2}{2 – x})^2dx = π.\frac{4}{2 – x}|_0^1 = 2π\)
Trên là bài giải bài tập 7 trang 146 sgk giải tích lớp 12. Bài giải kèm theo phương pháp giải giúp các bạn nắm bắt tốt hơn trong phần ôn tập cuối năm.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời