Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = x^{4} + ax^{2} + b\)
a. Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = 1.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a = \frac{1}{2}, b = 1\).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích 12
Câu a: Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = 1.
Phương pháp giải:
Sử dụng điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Hàm sốf(x) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0) = 0\).
Giải:
Nếu hàm số có cực trị bằng \({3 \over 2}\) khi x = 1 thì:
\(\begin{cases}y'(1) = 0\\y(1) = \frac{3}{2}\end{cases} ⇔ \begin{cases}4 + 2a = 0\\1 + a + b = \frac{3}{2}\end{cases} ⇔ \begin{cases}a = -2\\b = \frac{5}{2}\end{cases}\)
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a = \frac{1}{2}, b = 1\)
Phương pháp giải: Áp dụng các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương.
Khi \(a = -\frac{1}{2}, b=1\) ta có \(y = x^4-\frac{1}{2}x^2 + 1\)
Tập xác định: D = R.
Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow ±∞}y = +∞\)
Sự biến thiên:
\(y’ = 4x^3 – x = x(4x^2 – 1)\)
\(y’ = 0 ⇔ \Bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0 \ \ (y = 1)\\ \\ x = ±\frac{1}{2} \ \ (y = \frac{15}{16}) \end{matrix}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\frac{1}{2}; 0)\) và \((\frac{1}{2}; +∞)\); nghịch biến trên các khoảng \((-∞; -\frac{1}{2})\) và \((0; \frac{1}{2}).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại \(y_{cd} = 1\); Đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{2}\) và \(x = -\frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct} = \frac{15}{16}.\)
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(( 1;\frac{3}{2} )\) và \(( -1;\frac{3}{2} ).\)
Đồ thị:
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.
Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm \(M(x_0, y_0 )\) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng:
\(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\)
Ta có: \(y’= 4x^{3} + 2ax\)
Giải:
Với y = 1 ta có phương trình:
\({x^4} – {1 \over 2}{x^2} = 0 ⇔ x ∈ \{ {0, ± {1 \over {\sqrt 2 }}}\}\)
Trên đồ thị có 2 điểm với tung độ bằng 1 là:
\({M_1}({{ – 1} \over {\sqrt 2 }}, 1); {M_2}(0, 1); {M_3}({1 \over {\sqrt 2 }},1)\)
Ta lấy y’(0) = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại \(M_{2}\) có phương trình là y = 1
Lại có:
\(y'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}; y'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(y = \frac{-1}{2}x + \frac{1}{2} ⇔ y = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}\)
Cách giải khác
Câu a: Ta có: \(y’ = 4x^3 + 2ax = 2x(2x^2 + a) = 0\)
\(⇔ x = 0, x = ±\sqrt{-\frac{a}{2}}\) nếu a < 0
Hàm số có cực trị \(\frac{3}{2}\) khi x = 1, khi đó ta có
\(\begin{cases}\sqrt{-\frac{a}{2}} = 1\\1 + a + b = \frac{3}{2}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}a = -2\\b = \frac{5}{2}\end{cases}\)
Câu b: Với \(a = -\frac{1}{2}, b = 1\). Ta có: \(y = x^4 – \frac{1}{2}x^2 + 1\)
Khi đó \(y’ = 4x^3 – x = 0 ⇔ x = 0\) và \(x = ± \frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
Đồ thì
Câu c: Ta có: \(y_0 = f(x_0) = 1 ⇔ x_0^4 – \frac{1}{2}x_0^2 + 1 = 1\)
\(⇔ x_0^4 – \frac{1}{2}x_0^2 = 0\)
\(⇔ x_0^2(x_0^2 – \frac{1}{2}) = 0 ⇔ \begin{cases}x_0 = 0\\x_0 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}\)
Do đó, ba điểm tiếp là \((0; 1), (\frac{1}{\sqrt{2}}; 1), (-\frac{1}{\sqrt{2}}; 1)\)
Ta có các phương trình tiếp tuyến sau:
y = 1
\(y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x – \frac{1}{\sqrt{2}}) + 1\) hay \(y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\)
\(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}(x + \frac{1}{\sqrt{2}}) + 1\) hay \(y = -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\)
Cách giải khác
Câu a: Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = 1.
Phương pháp giải: Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm \(x = x_0 ⇔ x_0\) là nghiệm của phương trình y’ = 0.
– Điểm cực trị thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của điểm đó thỏa mãn công thức hàm số.
– Từ hai điều trên ta có hệ phương trình hai ẩn a, b. Giải hệ phương trình ta tìm được a, b.
Giải: Ta có: \(y’ = 4x^3 + 2ax\)
Nếu hàm số có cực trị bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = 1 thì: ta có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \((1; \frac{3}{2})\) và có y'(1) = 0.
\(\begin{cases}y'(1) = 0\\y(1) = \frac{3}{2}\end{cases} ⇔ \begin{cases}4 + 2a = 0\\1 + a + b = \frac{3}{2}\end{cases} ⇔ \begin{cases}a = -2\\b = \frac{5}{2}\end{cases}\)
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a = \frac{1}{2}, b = 1\).
Phương pháp giải: Với các giá trị cho trước của a và b ta thay vào hàm số và khảo sát, vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã học.
Giải: Khi \(a = \frac{-1}{2}, b = 1\) ta có hàm số: \(y = x^4 – \frac{1}{2}x^2 + 1\)
– Tập xác định: (-∞; +∞)
– Sự biến thiên: \(y’ = 4x^3 – x = x(4x^2 – 1\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ x(4x^2 – 1) = 0\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\4x^2 – 1 = 0\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = ±\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Trên các khoảng \((\frac{-1}{2}; 0)\) và \((\frac{1}{2} + ∞)\) có y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng \((-∞; \frac{1}{2})\) và \((0; \frac{1}{2})\) có y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại: \(x = 0; y_{cđ} = 1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = ±\frac{1}{2}; y_{ct} = \frac{15}{16}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1, không cắt trục hoành.
Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.
Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(x = x_0\) có công thức: \(y = y'(x_0)(x – x_0) + y_0\).
Giải: Với y = 1 ta có phương trình
\(x^4 – \frac{1}{2}x^2 = 0 ⇔ x ∈ {0; ±\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Trên đồ thị có 3 điểm với tung độ bằng 1 là:
\(M_1(\frac{-1}{\sqrt{2}}; 1); M_2(0; 1); M_3(\frac{1}{\sqrt{2}}; 1)\)
Ta có y'(0) = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(M_2\) có phương trình là y = 1.
Lại có: \(y'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}; y'(\frac{-1}{\sqrt{2}}) = \frac{-1}{\sqrt{2}}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M_1(-\frac{1}{\sqrt{2}}; 1)\) là:
\(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}(x + \frac{1}{\sqrt{2}}) + 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M_2(\frac{1}{\sqrt{2}}; 1)\) là: \(y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x – \frac{1}{\sqrt{2}}) + 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}\).
Trên là hướng dẫn giải bài tập 5 trang 146 sgk giải tích lớp 12. Hy vọng bài giải sẽ giúp các bạn học sinh nắm bắt được kiến thức của mính nhé trong phần ôn tập cuối năm này nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời