Giải Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3+(a-1)x^2+(a+3)x-4\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = -1, x = 1.
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích 12
Giải:
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0.
Ta áp dụng các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
Khi a = 0 ta có hàm số \(\)\(y = -\frac{1}{3}x^3 – x^2 + 3x – 4\)
TXĐ: D = R.
Giới hạn:\(\lim_{x → -∞}y = +∞ , \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Sự biến thiên:
\(y = -x^2 – 2x + 3; y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1 \ \ (y = -\frac{7}{3})\\ x = -3 \ \ (y = -13) \end{matrix}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;1); nghịch biến trên các khoảng \(( { -∞; – 3} )\) và \(( {1; +∞}).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại \(y_{cd} = -\frac{7}{3};\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3, giá trị cực tiểu \(y_{cd} = -13;\).
Đồ thị hàm số:
+ Tính đối xứng: Ta có y’ = -2x – 2; y’ = 0⇔ x = -1. Vậy hàm số nhận điểm \( ( -1; -\frac{23}{3} )\) làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; -4).
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(( -4; -\frac{32}{3} )\) và \(( 2; -\frac{14}{3} )\)
+ Đồ thị của hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = −4
Đồ thị cắt trục hoành tại x ≈ 5,18
Câu b: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = -1, x = 1.
Ta áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân.
Hàm số \(\)\(y = – {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4\) đồng biến trên khoảng (-3, 1)
\(y < y(1) = {{ – 7} \over 3} < 0\), \(∀x ∈ (-1, 1)\)
Do đó, diện tích cần tính là:
\(\int_{ – 1}^1 {( – {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4} )dx = {{26} \over 3}\)
Cách giải khác
Câu a: Với a = 0 ta có: \(y = -\frac{1}{3}x^3 – x^2 + 3x – 4\)
Tập xác định D = R
\(\lim_{x → -∞}y = +∞, \lim_{x → +∞}y = -∞\)
\(y’ = -x^2 – 2x + 3 = 0 ⇔ x = -3\) và \(x = 1\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Câu b: Diện tích hình phẳng:
\(S = \int_{-1}^{1} (\frac{1}{3}x^3 = x^2 – 3x + 4)dx\)
\(= (\frac{1}{12}x^4 + \frac{x^3}{3} – \frac{3}{2}x^2 + 4x)|_{-1}^{1}\)
\(= (\frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 4) – (\frac{1}{12} – \frac{1}{3} – \frac{3}{2} – 4)\)
\(= \frac{26}{3}(đvdt)\)
Cách giải khác
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0.
Phương pháp giải: Thay a = 0 vào hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Giải: Khi a = 0 ta có hàm số: \(y = -\frac{1}{3}x^3 – x^2 + 3x – 4\)
– Tập xác định: (-∞; +∞)
– Sự biến thiên: \(y’ = -x^2 – 2x + 3\)
y’ = 0 ⇔ x = 1, x = -3
Trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (-3; 1), y’ > 0.
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1, y_{CD} = \frac{-7}{3}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -3, y_{CT} = -1\)
– Giới hiệu vô cực: \(\lim_{a → +∞} = -∞, \lim_{a → +-∞} = +\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = -4
Đồ thị cắt trục hoành tại x ≈ 5,18
Câu b: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = -1, x = 1.
Phương pháp giải: Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và các đường thẳng x = a; x = b (a < b) có diện tích được tính bởi công thức: \(S = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)|dx\)
Giải: Hàm số \(y = -\frac{1}{3}x^3 – x^2 + 3x – 4\) đồng biến trên khoảng (-3; 1) nên:
\(y < y(1) = \frac{-7}{3} < 0, ∀x ∈ (-1; 1)\)
Do đó, diện tích cần tính là:
\(S = \int_{-1}^{1}|-\frac{1}{3}x^3 – x^2 + 3x – 4|dx\)
\(= \int_{-1}^{1}(\frac{1}{3}x^3 + x^2 – 3x + 4)dx\)
\(= (\frac{x^4}{12} + \frac{x^3}{3} – \frac{3x^2}{2} + 4x – 1)|_{-1}^1\)
\(= \frac{23}{12} + \frac{27}{4} = \frac{26}{3}\)
Đã có hướng dẫn giải bài tập 3 trang 145 sgk giải tích lớp 12 dành cho các bạn rồi nhé. Xem ngay các bài giải khác trong chương ôn tập cuối năm ngay bên dưới đây các bạn nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời