Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y= x^{2} + ax^{2} + bx + 1\)
a. Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
c. Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) quanh trục hoành.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích 12
Câu a: Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)
Phương pháp giải: Do đồ thị hàm số đi qua A và B, vì vậy ta thay tọa độ A và B vào hàm số ta sẽ thu được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ này ra sẽ tìm được a và b.
Giải:
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B (-2, -1) khi và chỉ khi:
\(\begin{cases}2 = 1 + a + b + 1\\-1 = -8 + 4a – 2b + 1\end{cases} ⇔ \begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}\)
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
Phương pháp giải: Thực hiên các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
Giải:
Khi a = 1, b = -1 ta có hàm số: \(y = x^{3} + x^{2} – x + 1\)
_ Tập xác định: (-∞, + ∞)
_ Sự biến thiên: \(y’ = 3x^{2} + 2 -1\)
\(y’= 0 ⇔ x = -1, x = \frac{1}{3}\)
Trên các khoảng (-∞, -1) và \((\frac{1}{3}, +∞)\) , y’ > 0 nên hàm số đồng biến
Trên khoảng \((-1, \frac{1}{3})\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến
– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1, y_{CD} = 2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{3}, {y_{CT}} = \frac{22}{27}\)
– Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x → +∞}y = +∞; \lim_{x → -∞}y = -∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, cắt trục hoành tại x ≈ -1, 84
Câu c: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) quanh trục hoành.
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính thể tích khối trón xoay bằng tích phân.
Giải:
Trong khoảng (0, 1) ta có y > 0.
Vì vậy, thể tích cần tìm là:
\(V = π\int_{0}^{1}(x^3 + x^2 – x + 1)^2dx = \frac{134π}{105}\)
Cách giải khác
Câu a: Đồ thị đi qua A(1; 2) và B(2; -1) khi và chỉ khi:
\(\begin{cases}2 = 2 + a + b\\-1 = -8 + 4a – 2b + 1\end{cases}\)
⇔ a = 1; b = 1
Câu b: Khảo sát hàm số: \(y = x^3 + x^2 – x + 1\), ta có:
Tập xác định D = R
\(\lim_{x \rightarrow -∞} = -∞; \lim_{x \rightarrow +∞} = +∞\)
\(y’ = 3x^3 + 2x – 1 = 0 ⇔ x = -1\) và \(x = \frac{1}{3}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Câu c: Thể tích của vật thể là:
\(V = π\int_{0}^{1} [x^3 + x^2 – x + 1]^2dx\)
\(= π(\frac{x^7}{7} + \frac{x^6}{6} – \frac{x^5}{5} + x^3 – x^2 – x)|_{0}^{1}\)
\(= 134 \frac{π}{105}(đvdt)\)
Cách giải khác
Câu a: Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)
Phương pháp giải: Thay tọa độ của hai điểm A và B vào công thức hàm số rồi giải hệ phương trình gồm 2 ẩn a, b để tìm a, b.
Giải: Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1; 2) và B(-2; -1) khi và chỉ khi:
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B (-2, -1) khi và chỉ khi:
\(\begin{cases}2 = 1 + a + b + 1\\-1 = -8 + 4a – 2b + 1\end{cases} ⇔ \begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}\)
Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
Phương pháp giải: Thay các giá trị của a, b vừa tìm được vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Giải:
Khi a = 1, b = -1 ta có hàm số: \(y = x^3 + x^2 – x + 1\)
– Tập xác định: (-∞; +∞)
– Sự biến thiên: \(y’ = 3x^2 + 2x – 1\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ 3x^2 + 2x – 1 = 0\)
\(⇔ (3x – 1)(x + 1) = 0\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}3x – 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\x = – 1\end{array} \right.\end{array}\)
Trên các khoảng (-∞; -1) và \((\frac{1}{3}; +∞), y’ > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; \frac{1}{3}), y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.
– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = – 1, y_{CD} = 2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{3}, y_{CT} = \frac{22}{27}\)
– Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x → +∞}y = +∞; \lim_{x → -∞}y = -∞\)
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 1, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x ≈ -1,84.
Câu c: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) quanh trục hoành.
Phương pháp giải: Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b (a < b). Khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức: \(V = π\int_{a}^{b}|f^2(x) – g^2(x)|dx\)
Giải:
Trong khoảng (0; 1) ta có y > 0
Vì vậy, thể tích cần tìm là:
\(V = π\int_{0}^{1}(x^3 + x^2 – x + 1)^2dx\)
\(= π\int_{0}^{1}(x^6 + 2x^5 – x^4 + 3x^2 – 2x + 1)dx\)
\(= π(\frac{x^7}{7} + \frac{x^6}{3} – \frac{x^5}{5} + x^3 – x^2 + x)|_0^1\)
\(= \frac{134π}{105}\)
Vậy là xong bài tập 3 trang 146 sgk giải tích lớp 12. Bài hướng dẫn khá là chi tiết, nếu có sai hay có cách giải mới sinh mời bình luận bên dưới nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời