Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
a. \(\)\(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}ln x dx\)
b. \(\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\frac{xdx}{sin^2x}\)
c. \(\int_{0}^{π}(π – x)sinxdx\)
d. \(\int_{-1}^{0 }(2x + 3)e^{-x}dx\)
Lời Giải Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích 12
Ở bài này chúng ta áp dụng cách đặt khi tính tích phân từng phần của một số hàm thường gặp, ta có 2 dạng như sau:
Dạng 1 \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)
- Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)
Dạng 2 \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)
- Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)
Câu a:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u = lnx\\ dv = \sqrt{x}dx \end{matrix}\right. ⇒ \left\{\begin{matrix} du = \frac{dx}{x}\\ \\ v = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{matrix}\right.\)
\(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnxdx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}lnx\bigg |^{e^4}_1- \frac{2}{3}\int_{1}^{e^4}x^{\frac{1}{2}}dx\)
\(= \frac{2}{3}\sqrt{x^3}lnx \bigg |^{e^4}_1 – \frac{4}{9}\sqrt{x^3}\bigg |^{e^4}_1 = \frac{4}{9}(5e^4 + 1)\).
Câu b:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ \\ dv=\frac{1}{sin^2x}dx \end{matrix}\right. ⇒ \left\{\begin{matrix} du=-dx\\ v=-cot x \end{matrix}\right.\)
\(\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{xdx}{sin^2x} = -xcot x \bigg|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}+ \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{cosx}{sinx}dx\)
\(= -xcot x \bigg|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + ln\left | sinx \right | \bigg|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = \frac{π\sqrt{3}}{6} + ln2\).
Câu c:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u= π – x\\ dv = sinxdx \end{matrix}\right. ⇒ \left\{\begin{matrix} du = -dx\\ v = -cosx \end{matrix}\right.\)
\(\int_{0}^{π}(π – x)sinx dx = -(π – x)cosx \bigg |^{π}_0 – \int_{0}^{π}cosxdx\)
\(= -(π – x)cos \bigg |^{π}_0-sinx\bigg |^{π}_0 = π\).
Câu d:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u = 2x + 3\\ dv = e^{-x}dx \end{matrix}\right. ⇒ \left\{\begin{matrix} du = 2dx\\ v = -e^{-x} \end{matrix}\right.\)
\(\int_{-1}^{0}(2x+3)e^{-x}dx = (-2x + 3)e^{-x} \bigg |^0_{-1}+2\int_{-1}^{0}e^{-x}dx\)
\(= -(2x+3)e^{-x}\bigg |^0_{-1}-2e^{-x}\bigg |^0_{-1} = 3e – 5\).
Cách giải khác
Câu a: Đặt \(u = lnx, dv = \sqrt{x}dx ⇒ du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}}\)
\(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnxdx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}lnx|_{1}^{e^4} – \frac{2}{3}lnx|_{1}^{e^4}x^{\frac{1}{2}}dx\)
\(= [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}(lnx – \frac{2}{3})]|_{1}^{e^4} = \frac{20e^6 + 4}{9}\)
Câu b: Đặt \(u = x, dv = \frac{dx}{sin^2x} ⇒ du = dx, v = -cotx\)
\(\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\frac{xdx}{sin2x} = -cotx|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}cotxdx\)
\(= [-xcotx + ln|sinx|]|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = π\frac{\sqrt{3}}{6} + ln2\)
Câu c: \(\int_{0}^{π}(π – x)sinxdx = \int_{0}^{π}(x – π)d(cosx)\)
\(= (x – π)cos|_{0}^{π} – \int_{0}^{π}cosxdx = π – sinx|_{0}^{π} = π\)
Câu d: \(\int_{-1}^{0} (2x + 3)e^{-x}dx = -\int_{-1}^{0}(2x + 3)d(e^{-x})\)
\(= (2x + 3)e – x|_{-1}^{0} – 2\int_{-1}^{0}e^{-x}dx\)
\(= e – 3 – [2e^{-x}]|_{-1}^{0} = 2e – 5\)
Cách giải khác
Câu a: \(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}ln x dx\)
Phương pháp giải:
– Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
– Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.
– Sử dụng công thức tích phân từng phần:
\(\int_{a}^{b}u(x)dv(x) = u(x).v(x)|_a^b – \int_{a}^{b}v(x)du(x)\)
Giải:
Đặt \(\begin{cases}u = ln x\\dv = \sqrt{x}dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{1}{x}dx\\v = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\end{cases}\)
\(⇒ \int_{1}^{e^4}\sqrt{x}ln x dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}ln x|_1^{e^4} – \int_{1}^{e^4}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}.\frac{1}{2}dx\)
\(= \frac{8}{3}e^6 – \int_{1}^{e^4}\frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{8}{3}e^6 – \frac{2}{3}.\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_1^{e^4}\)
\(= \frac{8}{3}e^6 – \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{20}{9}e^6 + \frac{4}{9}\)
Câu b: \(\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\frac{xdx}{sin^2x}\)
Ta có: \(\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\frac{xdx}{sin^2x} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}xd(-cotx) = -x cot x|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}cot xdx\)
\(= \frac{π\sqrt{3}}{6} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\frac{d sin x}{sin x} = \frac{π\sqrt{3}}{6} + ln|sin x||_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = \frac{π\sqrt{3}}{6} + ln 2\)
Cách trình bày khác
Đặt \(\begin{cases}u = x\\dv = \frac{1}{sin^2x}\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = dx\\v = -cot x\end{cases}\)
Khi đó \(I = -xcot x|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} cot xdx = \frac{π}{6}.\sqrt{3} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}\frac{cos x}{sin x}dx\)
Đặt sin \(x = t ⇒ dt = cos xdx\)
Đổi cận \(x = \frac{π}{6} ⇒ t = \frac{1}{2}, x = \frac{π}{2} ⇒ t = 1\)
\(⇒ I = \frac{π}{6}.\sqrt{3} + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dt}{t} = \sqrt{3}.\frac{π}{6} + ln|t||_{\frac{1}{2}}^1\)
\(= \sqrt{3}.\frac{π}{6} – ln\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}π}{6} + ln 2\)
Câu c: \(\int_{0}^{π}(π – x)sinxdx\)
Ta có: \(\int_{0}^{π} (π – 0) sin xdx = \int_{0}^{π}(π – x)d(-cosx)\)
\(= -(π – x)cos x|_0^π + \int_{0}^{π}cosxd(π – x) = π – sinx|_0^π = π\)
Cách trình bày khác
Đặt \(\begin{cases}u = π – x\\dv = sin xdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = -dx\\v = -cos x\end{cases}\)
\(⇒ I = -(π – x)cos x|_0^π – \int_{0}^{π}cos xdx = π – sin x|_0^π = π + 0 – 0 = π\)
Câu d: \(\int_{-1}^{0 }(2x + 3)e^{-x}dx\)
Ta có: \(\int_{-1}^{0}(2x + 3)e^{-x}dx = \int_{-1}^{0}(2x + 3)d(-e^{-x})\)
\(= (2x + 3)e^{-x}|_0^{-1} + \int_{-1}^{e}e^{-x}.2dx = e – 3 + 2e^{-x}|_0^1 = 3e – 5\)
Cách trình bày khác
Đặt \(\begin{cases}u = 2x + 3\\dv = e^{-x}dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = 2dx\\v = -e^{-x}\end{cases}\)
\(⇒ I = -(2x + 3)e^{-x}|_{-1}^0 + 2\int_{-1}^{0}e^{-x}dx = -3 + e – 2e^{-x}|_{-1}^{0}\)
\(= -3 + e – 2 + 2e = 3e – 5\)
Mỗi câu là một lời giải cũng khá là hoàn chỉnh, bài này Học cũng đi coppy từ nguồn khác, nếu có sai xin vui lòng bình luận ngay bên dưới nhé các bạn.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời