Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các bất phương trình sau:
a. \(\)\(\frac{2^x}{3^x – 2^x} ≤ 2\)
b. \((\frac{1}{2} )^{log_2(x^2-1)} > 1\)
c. \(log^2x + 3logx ≥ 4\)
d. \(\frac{1 – log_4x}{1 + log_2x} ≤ \frac{1}{4}\)
Lời Giải Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích 12
Câu a:
Bất phương trình đã cho tương đương với \(2 – \frac{1}{( \frac{3}{2})^x – 1} ≥ 0\)
Đặt \(t = ( \frac{3}{2} )^x (t > 0)\), ta có bất phương trình \(\frac{2t – 3}{t – 1} ≥ 0\)
\(⇔ 0 < t < 1\) hoặc \(t ≥ \frac{3}{2}.\)
Suy ra: \(( \frac{3}{2} )^x < 1 ⇔ x < 0\) hoặc \(( \frac{3}{2} )^x ≥ \frac{3}{2} ⇔ x ≥ 1.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho: S = (-∞; 0) ∪ [1; +∞).
Câu b:
Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
\(\left\{\begin{matrix} x^2-1 > 0\\ log_2(x^2 – 1) < 0 \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x^2-1 > 0\\ x^2-1 < 1 \end{matrix}\right. ⇔ 1 < x^2 < 2\)
\(⇔ 1 < |x| < \sqrt{2} ⇔ -\sqrt{2} < x < -1\) hoặc \(1 < x < \sqrt{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = (-\sqrt{2}; -1) ∪ (1; \sqrt{2})\).
Câu c:
Điều kiện x > 0, đặt t = logx ta có:
\(t^2+3t-4 ≥ 0 ⇔ t ≤ -4\) hoặc t ≥ 1
Suy ra: \(\log x ≤ – 4 ⇔ 0 < x ≤ {10^{ – 4}}\) hoặc \(\log x ≥ 1 ⇔ x ≥ 10.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = ( 0; \frac{1}{10000} ) ∪ [10; +∞)\)
Câu d:
Điều kiện x > 0, đặt \(t = log_x\), ta có bất phương trình
\(\frac{1-\frac{1}{2}t}{1+t}-\frac{1}{4} ≤ 0 ⇔ \frac{3 – 3t}{4(1 + t)} ≤ 0 ⇔ t < -1\) hoặc t ≥ 1
Suy ra: \({\log _2}x < – 1 ⇔ 0 < x < \frac{1}{2}\) hoặc \({\log _2}x ≥ 1 ⇔ x ≥ 2.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = ( 0; \frac{1}{2} ) ∪ [2; +∞)\)
Cách giải khác
Câu a: \(\frac{2^x}{3^x – 2^x} ≤ 2\)
Phương pháp giải:
– Sử dụng các phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit để làm bài.
– \((a)^{f(x)} < b ⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}a > 0\\f(x) < log_ab\end{cases}\\\begin{cases}0 < a < 1\\f(x) > log_ab\end{cases}\end{array} \right.\end{array}\)
– \(log_af(x) > b ⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}a > 1\\f(x) > f(x) > a^b\end{cases}\\\begin{cases}0 < a < 1\\f(x) < a^b\end{cases}\end{array} \right.\end{array}\)
Giải: Chia cả tử và mẫu của bất phương trình cho \(2^x > 0\) ta có:
\(\frac{2^x}{3^x – 2^x} ≤ 2 ⇔ \frac{1}{(\frac{3}{2})^x – 1} ≤ 2\)
Đặt \(t = (\frac{3}{2})^x (t > 0)\), bất phương trình trở thành:
\(\frac{1}{t – 1} ≤ 2 ⇔ \frac{1}{t – 1} -2 ≤ 0 ⇔ \frac{-2t + 3}{t – 1} ≤ 0\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0 < t < 1\\t ≥ \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}(\frac{3}{2})^x < 1\\(\frac{3}{2})^x ≥ \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x ≥ 1\end{array} \right.\end{array}\)
Câu b: \((\frac{1}{2} )^{log_2(x^2-1)} > 1\)
Giải: \((\frac{1}{2})^{log_2(x^2 – 1)} > 1 ⇔ \begin{cases}x^2 – 1 > 0\\log_2(x^2 – 1) < 0\end{cases}\)
\(⇔ 0 < x^2 – 1 < 1 ⇔ 1 < |x| < \sqrt{2}\)
\(⇔ x ∈ (-\sqrt{2}, -1) ∪ (1, \sqrt{2})\)
Câu c: \(log^2x + 3logx ≥ 4\)
Giải: Điều kiện: x > 0
\(log^2x + 3logx ≥ 4 ⇔ (logx + 4)(logx – 1) ≥ 0\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}logx ≥ 1\\logx ≤ -4\end{array} \right.\end{array}\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x ≥ 10\\0 < x ≤ 10^{-4}\end{array} \right.\end{array}\)
Câu d: \(\frac{1 – log_4x}{1 + log_2x} ≤ \frac{1}{4}\)
Ta có: \(\frac{1 – log_4x}{1 + log_2x} ≤ \frac{1}{4} ⇔ \frac{1 – log_4x}{1 + 2log_4x} ≤ \frac{1}{4}\)
\(⇔ \frac{4 – 4log_4x – 1 – 2log_4x}{4(1 + log_4x)} ≤ 0\)
\(⇔ \frac{3 – 6log_4x}{1 + 2log_4x} ≤ 0\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}log_4x ≤ \frac{-1}{2}\\log_4x ≥ \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
\(⇔ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0 < x < \frac{1}{2}\\x ≥ 2\end{array} \right.\end{array}\)
Trên là bài giải khá vất vả và mệt trong bài tập 10 trang 147 sgk giai tích 12, bài khá dài và công thức hơi nhiều nhé. Nếu sai xin vui lòng bình luận ngay bên dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời