Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a. \(\)\(f(x) = 2x^{3} – 3x^{2} – 12x + 1\) trên đoạn \([-2; \frac{5}{2}]\).
b. \(f(x) = x^{2}\) lnx trên đoạn [1; e].
c. \(f(x) = xe^{-x}\) trên nữa khoảng [0; +∞).
d. \(f(x) = 2sinx + sin2x\) trên đoạn \([0; \frac{3}{2}π]\).
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(f(x) = 2x^{3} – 3x^{2} – 12x + 1\) trên đoạn \([-2; \frac{5}{2}]\).
\(D = [ -2; \frac{5}{2}]\)
\(f(x) = 6x^2 – 6x – 12; f(x) = 0 ⇔ \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=-1\in D\\ \\ x = 2 ∈ D \end{matrix}\)
Ta có: \(f(-1) = 8, f(2) = -19, f(-2) =-3,f(\frac{5}{2}) = -\frac{33}{2}\)
Vậy \(\underset{x ∈ D}{max}f(x) = 8, \underset{x ∈ D}{min}f(x) = -19\)
Câu b: \(f(x) = x^{2}\) lnx trên đoạn [1; e].
D = [1; e]
f(x) = 2xlnx + x = x(2lnx + 1) > 0 ∀x ∈ [1, e]
Do đó: \(\underset{x ∈ D}{max}f(x) = f(e) = e^2, \underset{x ∈ D}{min}f(x) = f(1) = 0\)
Câu c: \(f(x) = xe^{-x}\) trên nữa khoảng [0; +∞).
D = [0; +∞]
\(f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = e^{-x}(1 – x)\)
\(f'(x) = 0 ⇔ x=1; \lim_{x ⇒ +∞}f(x) = 0; f(0) = 0; f(1) = \frac{1}{e}\)
Bảng biến thiên
\(\underset{x ∈ D}{max}f(x) = f(1) = \frac{1}{e}; \underset{x ∈ D}{min}f(x) = f(0) = 0\)
Câu d: \(f(x) = 2sinx + sin2x\) trên đoạn \([0; \frac{3}{2}π]\).
\(D = [ 0; \frac{3}{2}π]\)
\(f'(x) = 2cosx + 2cos2x = 2(cosx + 2 cos^2x -1)\)
\(f'(x) = 0 ⇔ 2cos^2x + cosx -1 = 0 ⇔ \Bigg \lbrack \begin{matrix} cosx=-1\\ \\ cosx=\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ \Bigg \lbrack \begin{matrix} x= π\\ \\ x= \frac{π}{3} \end{matrix}\)
Ta có \(f(0) = f(π) = 0, f( \frac{π}{3} ) = \frac{3\sqrt{3}}{2}, f( \frac{3π}{2} ) = -2\)
Vậy \(\underset{x ∈ D}{max}f(x) = f( \frac{π}{3} ) = \frac{3\sqrt{3}}{2}; \underset{x ∈ D}{min}f(x) = f( \frac{3π}{2} ) = -2\)
Cách giải khác
Câu a: Tập xác định D = R
Ta có: \(f'(x) = 6x^2 – 6x – 12 = 0\) ⇔ x = -1 và x = 2
\(f(-2) = -3; f(\frac{5}{2}) = -\frac{33}{2}; f(-1) = 8; f(2) = -19\)
\(\underset{[-2; \frac{5}{2}]}{min}f(x) = min{-3; -\frac{33}{2}; 8; -19} = -19\) tại x = 2
\(\underset{[-2; \frac{5}{2}]}{max}f(x) = max{-3; -\frac{33}{2}; 8; -19} = 8\) tại x = -1
Câu b: Tập xác định D = (0; +∞)
\(f'(x) = x(2lnx + 1) = 0 ⇔ x = e^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}\)
f'(x) > 0 với \(x > \frac{1}{\sqrt{e}}\)
Vậy f'(x) > 0 với x ∈ [1; e]
Hàm số đồng biến trên [1; 2] nên ta có:
\(\underset{[1; e]}{min}f(x) = f(1) = 0; \underset{[1; e]}{max}f(x) = f(e) = e^2\)
Câu c: Tập xác định D = R
\(f'(x) = e^{-x}[1 – x] = 0 ⇔ x = 1\)
f'(x) > 0 với x ∈ (-∞; 1) và f'(x) < 0 với x ∈ (1; +∞)
\(\lim_{x \rightarrow +∞}f(x)\)
Suy ra \(\underset{[0; +∞]}{min}f(x) = f(0) = 0; \underset{[0; +∞]}{max}f(x) = f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}\)
Câu d: Tập xác định \(D = R, [0; \frac{3}{2}π] ∈ D\)
\(f'(x) = 2cosx + 2cos2x = 0\)
\(⇔ cos2x = -cosx = cos(x + π)\)
\(⇔ x = 0, x = \frac{π}{3} + \frac{k2}{3}π\)
Trên đoạn \([0; \frac{3}{2}π] = 0; f(\frac{π}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}; f(3\frac{π}{2}) = -2\)
Suy ra \(\underset{[0; \frac{3}{2}π]}{min}f(x) = -2; \underset{[0; \frac{3}{2}π]}{max}f(x) = 3\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Cách giải khác
Câu a: \(f(x) = 2x^{3} – 3x^{2} – 12x + 1\) trên đoạn \([-2; \frac{5}{2}]\).
Phương pháp giải: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:
– Tìm các điểm \(x_1; x_2; x_3;….; x_n\) thuộc đoạn [a; b] mà tại đó hàm số có đạo hàm f'(x) = 0 hoặc không có đạo hàm.
– Tính \(f(x_1); f(x_2); f(x_3);… ;f(x_n)\) và f(a); f(b)
– So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số y = f(x) trên [a; b] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b].
\(\underset{x ∈ [a; b]}{max}f(x) = max{f(x_1);…;f(x_n); f(a); f(b)}\)
\(\underset{x ∈ [a; b]}{min}f(x) = min{f(x_1);…;f(x_n); f(a); f(b)}\)
Giải:
\(f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 1 ⇒ f'(x) = 6x^2 – 6x – 12\)
\(f'(x) = 0 ⇔ x = -1\) hoặc \(x = 2\)
So sánh các giá trị:
\(f(-2) = -3; f(-1) = 8\)
\(f(2) = -19, f(\frac{5}{2}) = \frac{-33}{2}\)
Suy ra:
\(\underset{x ∈ [-2; \frac{5}{2}]}{max}f(x) = f(-1) = 8\)
\(\underset{x ∈ [-2; \frac{5}{2}}{min}f(x) = f(2) = -19\)
Câu b: \(f(x) = x^{2}\) lnx trên đoạn [1; e].
\(f(x) = x^2lnx ⇒ f'(x) = 2xlnx + x > 0, ∀x ∈ [1, e]\) nên f(x) đồng biến.
Do đó:
\(\underset{x ∈ [1, e]}{max}f(x) = f(e) = e^2\)
\(\underset{x ∈ [1, e]}{min}f(x) = f(1) = 0\)
Câu c: \(f(x) = xe^{-x}\) trên nữa khoảng [0; +∞).
\(f(x) = xe^{-x} ⇒ f'(x) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:
f'(x) = 0 ⇔ x = 1, f'(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1) và f'(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞) nên: \(\underset{x ∈ [0, +∞]}{max}f(x) = f(1) = \frac{1}{e}\)
Ngoài ra \(f(x) = xe^{-x} ≥ 0, ∀x ∈ [0, +∞)\) và f(0) = 0 suy ra \(\underset{x ∈ [0, +∞)}{min}f(x) = f(0) = 0\)
Câu d: \(f(x) = 2sinx + sin2x\) trên đoạn \([0; \frac{3}{2}π]\).
\(f(x) = 2sinx + sin2x ⇒ f'(x) = 2cosx + 2cos2x\)
\(f'(x) = 0 ⇔ cos2x = -cos ⇔ 2x = ±(π – x) + k2π\)
\(⇔ x ∈ {-π + k2π; \frac{π}{3} + \frac{k2π}{3}}\)
Trong khoảng \([0, \frac{3π}{2}]\), phương trình f'(x) = 0 chỉ có hai nghiệm là \(x_1 = \frac{π}{3}; x_2 = π\)
So sánh bốn giá trị: \(f(0) = 0; f(\frac{π}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}; f(π) = 0; f(\frac{3π}{2}) = -2\)
Suy ra:
\(\underset{x ∈ [0, \frac{3π}{2}]}{max}f(x) = f(\frac{π}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\underset{x ∈ [0, \frac{3π}{2}]}{min}f(x) = f(\frac{3π}{2}) = -2\)
Lời giải 4 câu trong bài tập 8 trang 147 sgk giải tích lớp 12 dành cho các bạn học sinh đang học ôn tập cuối năm. Chúc các bạn có kỳ học cuối năm đạt nhiều kết quả tốt nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời