Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a. \(\)\(\int_{0}^{\frac{π}{24}}tan( \frac{π}{3} – 4x )dx\) (đặt \(u = cos(\frac{π}{3} – 4x)\)
b. \(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9 + 25x^2}\) (đặt \(x = \frac{3}{5}tant\))
c. \(\int_{0}^{\frac{π}{2}}sin^3xcos^4xdx\) (đặt u = cosx)
d. \(\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}\frac{\sqrt{1 + tanx}}{cos^2x}dx\) (đặt \(u =\sqrt{1+tanx}\))
Lời Giải Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int_{0}^{\frac{π}{24}}tan( \frac{π}{3} – 4x )dx\) (đặt \(u = cos(\frac{π}{3} – 4x)\)
Đặt \(u = cos( \frac{π}{3} -4x) ⇒ du= 4sin( \frac{π}{3} – 4x )dx\)
\(⇒ sin ( \frac{π}{3} – 4x )dx = \frac{du}{4}\)
Đổi cận:
Do đó:
\(\int_{0}^{\frac{π}{24}}tan( \frac{π}{3} – 4x)dx = \int_{0}^{\frac{π}{24}} \frac{sin( \frac{π}{3} – 4x)}{cos( \frac{π}{3} – 4x )}dx\)
\(=\frac{1}{4}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3} }{2}}\frac{du}{u} = \frac{1}{4}ln|u| \Bigg |_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3} }{2}}=\frac{1}{8}ln3\).
Câu b: \(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9 + 25x^2}\) (đặt \(x = \frac{3}{5}tant\))
Đặt \(x = \frac{3}{5}tant ⇒ dx = \frac{3dt}{5cos^2t}\)
Do đó:
\(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9 + 25x^2}= \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{π}{4}}\frac{3dt}{5cos^2t(9+9tan^2t)} = \frac{1}{15}\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}dt\)
\(= \frac{1}{15} ( \frac{π}{4}-\frac{π}{6} ) = \frac{π}{180}\).
Câu c: \(\int_{0}^{\frac{π}{2}}sin^3xcos^4xdx\) (đặt u = cosx)
Đặt u = cosx ⇒ du = – sinx dx
Do đó
\(\int_{0}^{\frac{π}{2}}sin^3xcos^4dx = \int_{1}^{0}(u^2 – 1)u^4du\)
\(= \int_{1}^{0}(u^6 – u^4)du = ( \frac{u^7}{7} – \frac{u^5}{5} ) \Bigg |_{1}^{0}=\frac{2}{35}\).
Câu d: \(\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}\frac{\sqrt{1 + tanx}}{cos^2x}dx\) (đặt \(u =\sqrt{1+tanx}\))
Đặt \(u = \sqrt{1 + tanx}\) hay \(u^2 = 1+tanx ⇒ 2udu = \frac{dx}{cos^2x}\)
Do đó \(\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}\frac{\sqrt{1 + tanx}}{cos^2x}dx = \int_{0}^{\sqrt{2}}2u^2du = \frac{2}{3}u^3 \Bigg |_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\).
Cách giải khác
Câu a: \(\int_{0}^{\frac{π}{24}}tan( \frac{π}{3} – 4x )dx\) (đặt \(u = cos(\frac{π}{3} – 4x)\)
Phương pháp giải: \(Đặt u = cos(\frac{π}{3} – 4x)\)
Ta có: \(I = \int_0^{\frac{π}{24}} {\tan({\frac{π}{3} – 4x})dx} = \int_0^{\frac{π}{24}} {\frac{{\sin( {\frac{π}{3} – 4x})}}{{\cos ( {\frac{π}{3} – 4x})}}dx}\)
Đặt \(u = \cos ( {\frac{π}{3} – 4x} ) ⇔ du = 4\sin ( {\frac{π}{3} – 4x})dx\).
Đổi cận: \(\begin{cases}x = 0 ⇒ u = \frac{1}{2}\\x = \frac{π}{{24}} ⇒ u =\frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{cases}\)
Khi đó: \(I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{du}{4u} = \frac{1}{4}ln|u||_\frac{1}{2}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4}(ln\frac{\sqrt{3}{2}}{2} – ln\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}ln\sqrt{3}\)
Câu b: \(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9 + 25x^2}\) (đặt \(x = \frac{3}{5}tant\))
Phương pháp giải: Đặt \(x = \frac{3}{5}tant\)
Đặt \(x = \frac{3}{5}tan t ⇔ dx = \frac{3}{5cos^2t}dt = \frac{3}{5}( tan^2t + 1)dt\).
Đổi cận: \(\begin{cases}x = \frac{\sqrt{3} }{5} ⇒ t = \frac{π}{6}\\x = \frac{3}{5} ⇒ t = \frac{π}{4}\end{cases}\)
\(I = \int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9 + 25x^2} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}\frac{3(tan^2t + 1)dt}{5(9 + 25.\frac{9}{25}tan^2t)}\)
\(I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}\frac{3(tan^2t + 1)}{5.9(tan^2t + 1)}dt = \frac{1}{15}\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} dt = \frac{t}{15}|_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{180}\)
Câu c: \(\int_{0}^{\frac{π}{2}}sin^3xcos^4xdx\) (đặt u = cosx)
Phương pháp giải: Đặt u = cosx
Ta có: \(I = \int_{0}^{\frac{π}{2}}sin^3xcos^4xdx = \int_{0}^{\frac{π}{2}}(1 – cos^2x)cos^4xsinxdx\)
Đặt \(u = cosx ⇒ du = -sinxdx\)
Đổi cận: \(\begin{cases}x = 0 ⇔ u = 1\\x = \frac{π}{2} ⇒ u = 0\end{cases}\)
\(⇒ I = -\int_{1}^{0}(1 – u^2)u^4du = \int_{0}^{1} (u^4 – u^6)du\)
\(I = (\frac{u^5}{5} – \frac{u^7}{7})|_0^1 = \frac{2}{35}\)
Câu d: \(\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}\frac{\sqrt{1 + tanx}}{cos^2x}dx\) (đặt \(u =\sqrt{1+tanx}\))
Phương pháp giải: \(u = \sqrt{1 + tanx}\)
Đặt \(u = \sqrt{1 + tanx} ⇔ u^2 = 1 + tanx ⇔ 2udu = \frac{1}{cos^2x}\).
Đổi cận: \(\begin{cases}x = -\frac{π}{4} ⇒ u = 0\\x = \frac{π}{4}⇒ u = \sqrt{2} \end{cases}\)
\(⇒ I = \int_{0}^{\sqrt{2}}u.2udu = 2\int_{0}^{\sqrt{2}}u^2du = 2\frac{u^3}{3}|_0^{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}.2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\)
Trên là lời giải bài tập 12 trang 147 sgk giải tích lớp 12, sau khi xem xong 4 câu đáp án thì cũng xanh mặt rồi các bạn nhỉ, nghĩ tý lấy hơi và làm nốt các bài tập còn lại trong phần ôn tập chương nhé các bạn.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời