Ôn Tập Cuối Năm – Giải Tích Lớp 12
II. Bài Tập: Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = \frac{x – 2}{x + m – 1}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2;
b. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -1.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 146 SGK Giải Tích 12
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
Phương pháp giải: Thay giá trị m = 2 vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Giải: Khi m = 2, ta có hàm số: \(y = \frac{x – 2}{x + 1}\)
– Tập xác định: (-∞; -1) ∪ (-1; +∞)
– Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, ∀x ∈ (-∞; -1) ∪ (-1; +∞)\) nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
– Hàm số không có cực trị
– Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\(\lim_{x → -1^-}y = \lim_{x → -1^-}\frac{x – 2}{x + 1} = +∞; \lim_{x → -1^+}y = \lim_{x → -1^+}\frac{x – 2}{x + 1} = -∞\)
⇒ x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x → ±∞}y = \lim_{x → ±∞}\frac{x – 2}{x + 1} = 1\)
⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ y = -2, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2.
Câu b: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -1.
Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(x = x_0\) có công thức: \(y = y'(x_0)(x – x_0) + y_0\).
Giải: iếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -1 có phương trình:
\(y = y'(a)(x – a) + y(a) = \frac{3}{(a + 1)^2}(x – a) + \frac{a – 2}{a + 1}\)
Cách giải khác
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2;
Phương pháp giải: Câu a, ta vận dụng các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Giải:
Khi m = 2, ta thu được hàm số \(y = \frac{x – 2}{x + 1}\).
Tập xác định: D = R\ {-1}.
Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -\infty }\frac{x-2}{x + 1} = 1; \lim_{x → +∞ }y = \lim_{x → +∞}\frac{x-2}{x + 1} = 1\)
\(\lim_{x → (-1)^-}y = \lim_{x → (-1)^-}\frac{x – 2}{x + 1} = +∞; \lim_{x → (-1)^+}y = \lim_{x → (-1)^+}\frac{x-2}{x + 1} = -∞\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là các đường thẳng x= – 1 và y = 1.
Sự biến thiên:
\(y’ = \frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, ∀x ≠ 1.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số nhận điểm (-1; 1) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox (2; 0) và cắt Oy tại (0; -2).
Đồ thị:
Câu b: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -1.
Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm \(M(x_0, y_0)\) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng: (Câu này khá giống với bài số 4 thì phải)
\(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\)
Giải:
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -1 có phương trình:
\(y = y'(a)(x – a) + y(a) = \frac{3}{(a + 1)^2}(x – a) + \frac{a – 2}{a + 1}\)
Cách giải khác
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2;
Với m = 2 ta có: \(y = \frac{x – 2}{x + 1}\)
D = R\{-1}
\(\lim_{x → -1^-}y = +∞, \lim_{x → 1^+}y = -∞\)
⇒ x = -1 là tiệm cận đứng
\(⇒ \lim_{x → = ±∞}y = 1 ⇒ y = 1\) là tiệm cận ngang
\(y’ = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, ∀x ≠ 1\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Câu b: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -1.
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm x = a ≠ -1 là
\(y = \frac{3}{(a + 1)^2}[x – a] + \frac{a – 2}{a + 1}\)
Hướng dẫn giải chi tiết bài tập 6 trang 146 sgk giải tích 12. Xem các bài giải khác ngay bên dưới đây nhé. Chúc các bạn có mùa ôn tập cuối năm thành công.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 3 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 4 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 5 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 6 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 7 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 8 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 9 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Câu Hỏi 10 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 1 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 145 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 146 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 147 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 148 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời